MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssc1 16877
Description: Infer subset relation on objects from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isssc.1 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
isssc.2 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
ssc1.3 (𝜑𝐻cat 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ssc1 (𝜑𝑆𝑇)

Proof of Theorem ssc1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssc1.3 . . 3 (𝜑𝐻cat 𝐽)
2 isssc.1 . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 isssc.2 . . . 4 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
4 sscrel 16869 . . . . . . 7 Rel ⊆cat
54brrelex2i 5409 . . . . . 6 (𝐻cat 𝐽𝐽 ∈ V)
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
73ssclem 16875 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ V ↔ 𝑇 ∈ V))
86, 7mpbid 224 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ V)
92, 3, 8isssc 16876 . . 3 (𝜑 → (𝐻cat 𝐽 ↔ (𝑆𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
101, 9mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦)))
1110simpld 490 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  wral 3090  Vcvv 3398  wss 3792   class class class wbr 4888   × cxp 5355   Fn wfn 6132  (class class class)co 6924  cat cssc 16863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-ixp 8197  df-ssc 16866
This theorem is referenced by:  ssctr  16881  ssceq  16882  subcss1  16898  issubc3  16905  subsubc  16909
  Copyright terms: Public domain W3C validator