Theorem ssc1 17834

Description: Infer subset relation on objects from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
isssc.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
ssc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ssc1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem ssc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssc1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
2		isssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		isssc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
4		sscrel 17826	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⊆cat
5	4	brrelex2i 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
7	3	ssclem 17832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ↔ 𝑇 ∈ V))
8	6, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9	2, 3, 8	isssc 17833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⊆cat 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
10	1, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦)))
11	10	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   × cxp 5652   Fn wfn 6526  (class class class)co 7405   ⊆_cat cssc 17820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-ixp 8912  df-ssc 17823

This theorem is referenced by:  ssctr  17838  ssceq  17839  subcss1  17855  issubc3  17862  subsubc  17866  iinfssc  49024  ssccatid  49039