Theorem ssc1 17533

Description: Infer subset relation on objects from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
isssc.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
ssc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ssc1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem ssc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssc1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
2		isssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		isssc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
4		sscrel 17525	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⊆cat
5	4	brrelex2i 5644	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
7	3	ssclem 17531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ↔ 𝑇 ∈ V))
8	6, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9	2, 3, 8	isssc 17532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⊆cat 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
10	1, 9	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦)))
11	10	simpld 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587   Fn wfn 6428  (class class class)co 7275   ⊆_cat cssc 17519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-ixp 8686  df-ssc 17522

This theorem is referenced by:  ssctr  17537  ssceq  17538  subcss1  17557  issubc3  17564  subsubc  17568