Theorem ssc1 17757

Description: Infer subset relation on objects from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
isssc.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
ssc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ssc1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem ssc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssc1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
2		isssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		isssc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
4		sscrel 17749	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⊆cat
5	4	brrelex2i 5689	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
7	3	ssclem 17755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ↔ 𝑇 ∈ V))
8	6, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9	2, 3, 8	isssc 17756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⊆cat 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
10	1, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦)))
11	10	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   × cxp 5630   Fn wfn 6495  (class class class)co 7368   ⊆_cat cssc 17743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-ixp 8848  df-ssc 17746

This theorem is referenced by:  ssctr  17761  ssceq  17762  subcss1  17778  issubc3  17785  subsubc  17789  iinfssc  49420  ssccatid  49435