Theorem ssc1 17913

Description: Infer subset relation on objects from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
isssc.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
ssc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ssc1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem ssc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssc1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
2		isssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		isssc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
4		sscrel 17905	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⊆cat
5	4	brrelex2i 5712	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
6	1, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
7	3	ssclem 17911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ↔ 𝑇 ∈ V))
8	6, 7	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9	2, 3, 8	isssc 17912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⊆cat 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
10	1, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐻𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦)))
11	10	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653   Fn wfn 6528  (class class class)co 7414   ⊆_cat cssc 17899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-ixp 8908  df-ssc 17902

This theorem is used by:  ssctr  17917  ssceq  17918  subcss1  17934  issubc3  17941  subsubc  17945  iinfssc  49986  ssccatid  50001