MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspm 29850
Description: Vector subtraction on a subspace is a restriction of vector subtraction on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sspm.l 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
sspm.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspm ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝐿 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspm.y . 2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 sspm.h . 2 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3 sspm.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
4 sspm.l . . 3 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
51, 3, 4, 2sspmval 29849 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
61, 4nvmf 29761 . 2 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐿:(𝑌 × 𝑌)⟶𝑌)
7 eqid 2731 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
87, 3nvmf 29761 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
91, 2, 5, 6, 8sspmlem 29848 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝐿 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5667  cres 5671  cfv 6532  NrmCVeccnv 29700  BaseSetcba 29702  𝑣 cnsb 29705  SubSpcss 29837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428  df-neg 11429  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-gdiv 29612  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-vs 29715  df-nmcv 29716  df-ssp 29838
This theorem is referenced by:  hhssvs  30388
  Copyright terms: Public domain W3C validator