Theorem sspm 30537

Description: Vector subtraction on a subspace is a restriction of vector subtraction on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspm	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐿 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		sspm.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3		sspm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
4		sspm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	1, 3, 4, 2	sspmval 30536	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
6	1, 4	nvmf 30448	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐿:(𝑌 × 𝑌)⟶𝑌)
7		eqid 2728	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 3	nvmf 30448	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
9	1, 2, 5, 6, 8	sspmlem 30535	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐿 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  NrmCVeccnv 30387  BaseSetcba 30389   −_𝑣 cnsb 30392  SubSpcss 30524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ssp 30525

This theorem is referenced by:  hhssvs  31075