MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspims Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspims 30562
Description: The induced metric on a subspace is a restriction of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspims.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
sspims.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
sspims.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspims ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem sspims
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspims.y . 2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 sspims.h . 2 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
3 sspims.d . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
4 sspims.c . . 3 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
51, 3, 4, 2sspimsval 30561 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
61, 4imsdf 30512 . 2 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝐢:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„)
7 eqid 2728 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
87, 3imsdf 30512 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))βŸΆβ„)
91, 2, 5, 6, 8sspmlem 30555 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  β„cr 11138  NrmCVeccnv 30407  BaseSetcba 30409  IndMetcims 30414  SubSpcss 30544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-ssp 30545
This theorem is referenced by:  bnsscmcl  30691  minvecolem4a  30700
  Copyright terms: Public domain W3C validator