Theorem sspims 30886

Description: The induced metric on a subspace is a restriction of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspims	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspims

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		sspims.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3		sspims.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4		sspims.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
5	1, 3, 4, 2	sspimsval 30885	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
6	1, 4	imsdf 30836	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐶:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 3	imsdf 30836	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶ℝ)
9	1, 2, 5, 6, 8	sspmlem 30879	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5643   ↾ cres 5647  ‘cfv 6515  ℝcr 11067  NrmCVeccnv 30731  BaseSetcba 30733  IndMetcims 30738  SubSpcss 30868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-ltxr 11216  df-sub 11411  df-neg 11412  df-grpo 30640  df-gid 30641  df-ginv 30642  df-gdiv 30643  df-ablo 30692  df-vc 30706  df-nv 30739  df-va 30742  df-ba 30743  df-sm 30744  df-0v 30745  df-vs 30746  df-nmcv 30747  df-ims 30748  df-ssp 30869

This theorem is referenced by:  bnsscmcl  31015  minvecolem4a  31024