Theorem sspims 30718

Description: The induced metric on a subspace is a restriction of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspims	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspims

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		sspims.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3		sspims.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4		sspims.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
5	1, 3, 4, 2	sspimsval 30717	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
6	1, 4	imsdf 30668	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐶:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 3	imsdf 30668	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶ℝ)
9	1, 2, 5, 6, 8	sspmlem 30711	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  NrmCVeccnv 30563  BaseSetcba 30565  IndMetcims 30570  SubSpcss 30700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-grpo 30472  df-gid 30473  df-ginv 30474  df-gdiv 30475  df-ablo 30524  df-vc 30538  df-nv 30571  df-va 30574  df-ba 30575  df-sm 30576  df-0v 30577  df-vs 30578  df-nmcv 30579  df-ims 30580  df-ssp 30701

This theorem is referenced by:  bnsscmcl  30847  minvecolem4a  30856