Theorem sspims 28621

Description: The induced metric on a subspace is a restriction of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspims	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspims

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		sspims.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3		sspims.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4		sspims.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
5	1, 3, 4, 2	sspimsval 28620	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
6	1, 4	imsdf 28571	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐶:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ)
7		eqid 2758	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 3	imsdf 28571	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶ℝ)
9	1, 2, 5, 6, 8	sspmlem 28614	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5522   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  ℝcr 10574  NrmCVeccnv 28466  BaseSetcba 28468  IndMetcims 28473  SubSpcss 28603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911  df-grpo 28375  df-gid 28376  df-ginv 28377  df-gdiv 28378  df-ablo 28427  df-vc 28441  df-nv 28474  df-va 28477  df-ba 28478  df-sm 28479  df-0v 28480  df-vs 28481  df-nmcv 28482  df-ims 28483  df-ssp 28604

This theorem is referenced by:  bnsscmcl  28750  minvecolem4a  28759