MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspims Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspims 28283
Description: The induced metric on a subspace is a restriction of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspims ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))

Proof of Theorem sspims
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspims.y . 2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 sspims.h . 2 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3 sspims.d . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4 sspims.c . . 3 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
51, 3, 4, 2sspimsval 28282 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
61, 4imsdf 28233 . 2 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐶:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ)
7 eqid 2772 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
87, 3imsdf 28233 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶ℝ)
91, 2, 5, 6, 8sspmlem 28276 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048   × cxp 5398  cres 5402  cfv 6182  cr 10326  NrmCVeccnv 28128  BaseSetcba 28130  IndMetcims 28135  SubSpcss 28265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-ltxr 10471  df-sub 10664  df-neg 10665  df-grpo 28037  df-gid 28038  df-ginv 28039  df-gdiv 28040  df-ablo 28089  df-vc 28103  df-nv 28136  df-va 28139  df-ba 28140  df-sm 28141  df-0v 28142  df-vs 28143  df-nmcv 28144  df-ims 28145  df-ssp 28266
This theorem is referenced by:  bnsscmcl  28413  minvecolem4a  28422
  Copyright terms: Public domain W3C validator