MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssOLD 8125
Description: Obsolete version of suppss 8124 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
suppss.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppssOLD (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppssOLD
StepHypRef Expression
1 suppss.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6669 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 fdm 6677 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5 dmexg 7839 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
7 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
87eqcoms 2744 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
96, 8syl5ibr 245 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
101, 4, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
1110impcom 408 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ V)
12 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
13 elsuppfn 8101 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
143, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
15 eldif 3920 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
16 suppss.n . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1716adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1815, 17sylan2br 595 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1918expr 457 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊 → (𝐹𝑘) = 𝑍))
2019necon1ad 2960 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝑍𝑘𝑊))
2120expimpd 454 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘𝑊))
2214, 21sylbid 239 . . . 4 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘𝑊))
2322ssrdv 3950 . . 3 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423ex 413 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25 supp0prc 8094 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
26 0ss 4356 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2725, 26eqsstrdi 3998 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2827a1d 25 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2924, 28pm2.61i 182 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356   supp csupp 8091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-supp 8092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator