Theorem suppssr 8147

Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppssr.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3913	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊))
2		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
3		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
4	2, 3	mpbiran 710	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
5		suppssr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffnd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		suppssr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		suppssr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
9		elsuppfn 8122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
11		ibar 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ V → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
12	2, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
13	12, 3	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
14	13	pm5.32da 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
15	10, 14	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
16		suppssr.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	sseld 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑊))
18	15, 17	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑊))
19	18	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋 ∈ 𝑊))
20	4, 19	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ 𝑊))
21	20	necon1bd 2951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
22	21	impr 454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
23	1, 22	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-supp 8113

This theorem is referenced by:  fsuppmptif  9314  fsuppco2  9318  fsuppcor  9319  cantnfp1lem1  9599  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1  9610  cnfcom2lem  9622  gsumval3  19848  gsumcllem  19849  gsumzaddlem  19862  gsumzmhm  19878  gsumpt  19903  gsum2dlem1  19911  gsum2dlem2  19912  gsum2d  19913  gsumxp2  19921  dprdfinv  19962  dprdfadd  19963  dmdprdsplitlem  19980  dpjidcl  20001  gsumdixp  20266  lcomfsupp  20865  uvcresum  21760  frlmsslsp  21763  mplsubglem  21966  mpllsslem  21967  mplsubrglem  21971  mplmonmul  22003  mplcoe1  22004  mplcoe5  22007  mplbas2  22009  evlslem4  22043  evlslem2  22046  evlsvvvallem  22058  evlsvvval  22060  rrxcph  25360  rrxmval  25373  rrxmetlem  25375  rrxmet  25376  rrxdstprj1  25377  deg1mul3le  26090  suppovss  32770  elrspunidl  33520  psrmonmul  33726  fedgmullem1  33806  eulerpartlemb  34545  evlselv  42939  fsuppssindlem1  42943  evlsmhpvvval  42947