Theorem suppssr 8194

Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppssr.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3936	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊))
2		fvex 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
3		eldifsn 4762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
4	2, 3	mpbiran 709	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
5		suppssr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffnd 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		suppssr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		suppssr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
9		elsuppfn 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
11		ibar 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ V → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
12	2, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
13	12, 3	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
14	13	pm5.32da 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
15	10, 14	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
16		suppssr.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	sseld 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑊))
18	15, 17	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑊))
19	18	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋 ∈ 𝑊))
20	4, 19	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ 𝑊))
21	20	necon1bd 2950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
22	21	impr 454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
23	1, 22	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-supp 8160

This theorem is referenced by:  fsuppmptif  9411  fsuppco2  9415  fsuppcor  9416  cantnfp1lem1  9692  cantnfp1lem3  9694  cantnflem1  9703  cnfcom2lem  9715  gsumval3  19888  gsumcllem  19889  gsumzaddlem  19902  gsumzmhm  19918  gsumpt  19943  gsum2dlem1  19951  gsum2dlem2  19952  gsum2d  19953  gsumxp2  19961  dprdfinv  20002  dprdfadd  20003  dmdprdsplitlem  20020  dpjidcl  20041  gsumdixp  20279  lcomfsupp  20859  uvcresum  21753  frlmsslsp  21756  mplsubglem  21959  mpllsslem  21960  mplsubrglem  21964  mplmonmul  21994  mplcoe1  21995  mplcoe5  21998  mplbas2  22000  evlslem4  22034  evlslem2  22037  rrxcph  25344  rrxmval  25357  rrxmetlem  25359  rrxmet  25360  rrxdstprj1  25361  deg1mul3le  26074  suppovss  32658  elrspunidl  33443  fedgmullem1  33669  eulerpartlemb  34400  evlsvvvallem  42584  evlsvvval  42586  evlselv  42610  fsuppssindlem1  42614  evlsmhpvvval  42618