Theorem suppssr 7482

Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppssr.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3733	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊))
2		fvex 6344	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
3		eldifsn 4454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
4	2, 3	mpbiran 688	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
5		suppssr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffnd 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		suppssr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		suppssr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
9		elsuppfn 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
11		ibar 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ V → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
12	2, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
13	12, 3	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
14	13	pm5.32da 568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
15	10, 14	bitrd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
16		suppssr.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	sseld 3751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑊))
18	15, 17	sylbird 250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑊))
19	18	expdimp 440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋 ∈ 𝑊))
20	4, 19	syl5bir 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ 𝑊))
21	20	necon1bd 2961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
22	21	impr 442	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
23	1, 22	sylan2b 581	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  {csn 4317   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   supp csupp 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-supp 7451

This theorem is referenced by:  fsuppmptif  8465  fsuppco2  8468  fsuppcor  8469  cantnfp1lem1  8743  cantnfp1lem3  8745  cantnflem1  8754  cnfcom2lem  8766  gsumval3  18515  gsumcllem  18516  gsumzaddlem  18528  gsumzmhm  18544  gsumpt  18568  gsum2dlem1  18576  gsum2dlem2  18577  gsum2d  18578  dprdfinv  18626  dprdfadd  18627  dmdprdsplitlem  18644  dpjidcl  18665  gsumdixp  18817  lcomfsupp  19113  psrbaglesupp  19583  psrbagaddcl  19585  psrbaglefi  19587  mplsubglem  19649  mpllsslem  19650  mplsubrglem  19654  mplmonmul  19679  mplcoe1  19680  mplcoe5  19683  mplbas2  19685  evlslem4  19723  evlslem2  19727  uvcresum  20349  frlmsslsp  20352  rrxcph  23399  rrxmval  23407  rrxmetlem  23409  rrxmet  23410  rrxdstprj1  23411  deg1mul3le  24096  eulerpartlemb  30770