Theorem suppssr 8179

Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppssr.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3917	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊))
2		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
3		eldifsn 4749	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
4	2, 3	mpbiran 721	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)
5		suppssr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffnd 6696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		suppssr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		suppssr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
9		elsuppfn 8154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
11		ibar 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ V → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
12	2, 11	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
13	12, 3	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
14	13	pm5.32da 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
15	10, 14	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
16		suppssr.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	sseld 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑊))
18	15, 17	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑊))
19	18	expdimp 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋 ∈ 𝑊))
20	4, 19	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ 𝑊))
21	20	necon1bd 2978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
22	21	impr 459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
23	1, 22	sylan2b 605	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   supp csupp 8144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-supp 8145

This theorem is referenced by:  fsuppmptif  9347  fsuppco2  9351  fsuppcor  9352  cantnfp1lem1  9635  cantnfp1lem3  9637  cantnflem1  9646  cnfcom2lem  9658  gsumval3  19965  gsumcllem  19966  gsumzaddlem  19979  gsumzmhm  19995  gsumpt  20020  gsum2dlem1  20028  gsum2dlem2  20029  gsum2d  20030  gsumxp2  20038  dprdfinv  20079  dprdfadd  20080  dmdprdsplitlem  20097  dpjidcl  20118  gsumdixp  20388  lcomfsupp  20989  uvcresum  21900  frlmsslsp  21903  mplsubglem  22105  mpllsslem  22106  mplsubrglem  22110  mplmonmul  22144  mplcoe1  22145  mplcoe5  22148  mplbas2  22150  evlslem4  22184  evlslem2  22187  evlsvvvallem  22199  evlsvvval  22201  rrxcph  25508  rrxmval  25521  rrxmetlem  25523  rrxmet  25524  rrxdstprj1  25525  deg1mul3le  26231  suppovss  32934  elrspunidl  33647  psrmonmul  33852  fedgmullem1  33931  eulerpartlemb  34670  evlselv  43178  fsuppssindlem1  43180  evlsmhpvvval  43184