Theorem suppss 8134

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (Proof shortened by SN, 5-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
suppss	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppss.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 ∈ V)
5		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
6		elsuppfng 8109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
8		eldif 3893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
9		suppss.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
10	9	adantll 720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
11	8, 10	sylan2br 601	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
12	11	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
13	12	necon1ad 2951	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
15	7, 14	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
16	15	ssrdv 3921	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		supp0prc 8103	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
19		0ss 4328	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
20	18, 19	eqsstrdi 3959	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
21	20	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
22	17, 21	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   supp csupp 8100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-supp 8101

This theorem is referenced by:  suppofssd  8143  suppcoss  8147  fsuppco2  9306  fsuppcor  9307  cantnfp1lem1  9590  cantnfp1lem3  9592  gsumzaddlem  19887  gsumzmhm  19903  gsum2d2lem  19939  lcomfsupp  20892  frlmssuvc1  21769  frlmsslsp  21771  frlmup2  21774  psrbaglesupp  21897  mvrcl  21966  mplsubglem  21973  mpllsslem  21974  mplsubrglem  21978  evlslem3  22056  mhpvscacl  22142  deg1mul3le  26100  jensen  26970  suppovss  32773  fsuppcurry1  32816  fsuppcurry2  32817  resf1o  32822  suppssnn0  32897  elrgspnlem2  33324  mplvrpmrhm  33731  fedgmullem1  33813  cantnfub  43766  cantnfresb  43769