Theorem suppss 8127

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (Proof shortened by SN, 5-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
suppss	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppss.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 ∈ V)
5		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
6		elsuppfng 8102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
8		eldif 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
9		suppss.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
10	9	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
11	8, 10	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
12	11	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
13	12	necon1ad 2942	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
15	7, 14	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
16	15	ssrdv 3941	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		supp0prc 8096	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
19		0ss 4351	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
20	18, 19	eqsstrdi 3980	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
21	20	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
22	17, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-supp 8094

This theorem is referenced by:  suppofssd  8136  suppcoss  8140  fsuppco2  9293  fsuppcor  9294  cantnfp1lem1  9574  cantnfp1lem3  9576  gsumzaddlem  19800  gsumzmhm  19816  gsum2d2lem  19852  lcomfsupp  20805  frlmssuvc1  21701  frlmsslsp  21703  frlmup2  21706  psrbaglesupp  21829  mvrcl  21899  mplsubglem  21906  mpllsslem  21907  mplsubrglem  21911  evlslem3  21985  mhpvscacl  22039  deg1mul3le  26020  jensen  26897  suppovss  32624  fsuppcurry1  32669  fsuppcurry2  32670  resf1o  32674  suppssnn0  32751  elrgspnlem2  33184  fedgmullem1  33602  cantnfub  43304  cantnfresb  43307