MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppss 7847
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
suppss.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppss (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss
StepHypRef Expression
1 suppss.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6492 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 fdm 6499 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5 dmexg 7598 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
65adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
7 eleq1 2880 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
87eqcoms 2809 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
96, 8syl5ibr 249 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
101, 4, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
1110impcom 411 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ V)
12 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
13 elsuppfn 7825 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
143, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
15 eldif 3894 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
16 suppss.n . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1716adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1815, 17sylan2br 597 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1918expr 460 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊 → (𝐹𝑘) = 𝑍))
2019necon1ad 3007 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝑍𝑘𝑊))
2120expimpd 457 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘𝑊))
2214, 21sylbid 243 . . . 4 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘𝑊))
2322ssrdv 3924 . . 3 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423ex 416 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25 supp0prc 7820 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
26 0ss 4307 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2725, 26eqsstrdi 3972 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2827a1d 25 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2924, 28pm2.61i 185 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  c0 4246  dom cdm 5523   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-supp 7818
This theorem is referenced by:  suppofssd  7854  suppcoss  7858  fsuppco2  8854  fsuppcor  8855  cantnfp1lem1  9129  cantnfp1lem3  9131  gsumzaddlem  19037  gsumzmhm  19053  gsum2d2lem  19089  lcomfsupp  19670  frlmssuvc1  20486  frlmsslsp  20488  frlmup2  20491  psrbaglesupp  20609  mplsubglem  20675  mpllsslem  20676  mplsubrglem  20680  mvrcl  20691  evlslem3  20755  mhpvscacl  20805  deg1mul3le  24720  jensen  25577  suppovss  30446  fsuppcurry1  30490  fsuppcurry2  30491  resf1o  30495  fedgmullem1  31113
  Copyright terms: Public domain W3C validator