Theorem suppss 7476

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
suppss	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppss.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 6185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4	3	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fdm 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		dmexg 7243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
7	6	adantr 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
8		eleq1 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
9	8	eqcoms 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
10	7, 9	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
11	1, 5, 10	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
12	11	impcom 394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ V)
13		simplr 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
14		elsuppfn 7453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
15	4, 12, 13, 14	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
16		eldif 3733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
17		suppss.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
18	17	adantll 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
19	16, 18	sylan2br 574	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
20	19	expr 444	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
21	20	necon1ad 2960	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
22	21	expimpd 441	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
23	15, 22	sylbid 230	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
24	23	ssrdv 3758	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
25	24	ex 397	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
26		supp0prc 7448	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
27		0ss 4116	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
28	26, 27	syl6eqss 3804	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
29	28	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
30	25, 29	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   supp csupp 7445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-supp 7446

This theorem is referenced by:  fsuppco2  8463  fsuppcor  8464  cantnfp1lem1  8738  cantnfp1lem3  8740  gsumzaddlem  18527  gsumzmhm  18543  gsum2d2lem  18578  lcomfsupp  19112  psrbaglesupp  19582  mplsubglem  19648  mpllsslem  19649  mplsubrglem  19653  mvrcl  19663  evlslem3  19728  frlmssuvc1  20349  frlmsslsp  20351  frlmup2  20354  deg1mul3le  24095  jensen  24935  resf1o  29842