MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppss 7711
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
suppss.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
suppss (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss
StepHypRef Expression
1 suppss.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6383 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 fdm 6390 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5 dmexg 7469 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
7 eleq1 2870 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
87eqcoms 2803 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
96, 8syl5ibr 247 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
101, 4, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐴 ∈ V))
1110impcom 408 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ V)
12 simplr 765 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
13 elsuppfn 7689 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
143, 11, 12, 13syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍)))
15 eldif 3869 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
16 suppss.n . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1716adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1815, 17sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1918expr 457 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊 → (𝐹𝑘) = 𝑍))
2019necon1ad 3001 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝑍𝑘𝑊))
2120expimpd 454 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘𝑊))
2214, 21sylbid 241 . . . 4 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘𝑊))
2322ssrdv 3895 . . 3 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423ex 413 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25 supp0prc 7684 . . . 4 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
26 0ss 4270 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2725, 26syl6eqss 3942 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2827a1d 25 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2924, 28pm2.61i 183 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3856  wss 3859  c0 4211  dom cdm 5443   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016   supp csupp 7681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-supp 7682
This theorem is referenced by:  suppofssd  7718  fsuppco2  8712  fsuppcor  8713  cantnfp1lem1  8987  cantnfp1lem3  8989  gsumzaddlem  18761  gsumzmhm  18777  gsum2d2lem  18813  lcomfsupp  19364  psrbaglesupp  19836  mplsubglem  19902  mpllsslem  19903  mplsubrglem  19907  mvrcl  19917  evlslem3  19981  mhpvscacl  20024  frlmssuvc1  20620  frlmsslsp  20622  frlmup2  20625  deg1mul3le  24393  jensen  25248  suppovss  30116  fsuppcurry1  30149  fsuppcurry2  30150  resf1o  30154  fedgmullem1  30629
  Copyright terms: Public domain W3C validator