Theorem suppss 8249

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (Proof shortened by SN, 5-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
suppss	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem suppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppss.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 ∈ V)
5		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
6		elsuppfng 8224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
8		eldif 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
9		suppss.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
10	9	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
11	8, 10	sylan2br 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
12	11	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
13	12	necon1ad 2976	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
15	7, 14	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
16	15	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		supp0prc 8217	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
19		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
20	18, 19	eqsstrdi 3957	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
21	20	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
22	17, 21	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-supp 8215

This theorem is used by:  suppofssd  8258  suppcoss  8262  fsuppco2  9432  fsuppcor  9433  cantnfp1lem1  9716  cantnfp1lem3  9718  gsumzaddlem  20186  gsumzmhm  20202  gsum2d2lem  20238  lcomfsupp  21228  frlmssuvc1  22155  frlmsslsp  22157  frlmup2  22160  psrbaglesupp  22285  mvrcl  22354  mplsubglem  22361  mpllsslem  22362  mplsubrglem  22366  evlslem3  22444  mhpvscacl  22530  deg1mul3le  26490  jensen  27373  suppovss  33371  fsuppcurry1  33412  fsuppcurry2  33413  resf1o  33418  suppssnn0  33493  elrgspnlem2  33903  mplvrpmrhm  34290  fedgmullem1  34372  cantnfub  44584  cantnfresb  44587