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Theorem tendospcanN 39889
Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendospcan.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendocnv 39887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) = (π‘†β€˜β—‘πΊ))
543adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) = (π‘†β€˜β—‘πΊ))
65coeq2d 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
7 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
9 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
111, 2ltrncnv 39012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 39886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
156, 14eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)))
1716eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡)))
18 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
20 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
211, 2, 3tendocl 39633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
241, 2, 3tendocl 39633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2726, 1, 2ltrncoidN 38994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)))
2918, 23, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
301, 2ltrnco 39585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 39691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 308 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 452 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 2962 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡)))
40 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 simpl3l 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
42 simpl3r 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 38994 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1352 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 441 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1111 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6891 . 2 (𝐹 = 𝐺 β†’ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ))
5250, 51impbid1 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  40185
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