Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospcanN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendospcanN 38045
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendocnv 38043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
543adant3l 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
65coeq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
7 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑆𝐸)
9 simp3l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
10 simp3r 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
111, 2ltrncnv 37168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 38042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
156, 14eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1716eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆𝐸)
20 simpl3l 1222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
211, 2, 3tendocl 37789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
241, 2, 3tendocl 37789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐾)
2726, 1, 2ltrncoidN 37150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2918, 23, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
301, 2ltrnco 37741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 37847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 230 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 452 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 3043 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40 simpl1 1185 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 simpl3l 1222 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐹𝑇)
42 simpl3r 1223 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐺𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 37150 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 240 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1346 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑆𝐸 → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 441 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1105 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6669 . 2 (𝐹 = 𝐺 → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺))
5250, 51impbid1 226 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cmpt 5143   I cid 5458  ccnv 5553  cres 5556  ccom 5558  cfv 6354  Basecbs 16478  HLchlt 36372  LHypclh 37006  LTrncltrn 37123  TEndoctendo 37774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-riotaBAD 35975
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-undef 7935  df-map 8403  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522  df-lines 36523  df-psubsp 36525  df-pmap 36526  df-padd 36818  df-lhyp 37010  df-laut 37011  df-ldil 37126  df-ltrn 37127  df-trl 37181  df-tendo 37777
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  38341
  Copyright terms: Public domain W3C validator