Theorem tendospcanN 41012

Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendospcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendospcanN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendospcan.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendospcan.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendospcan.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendocnv 41010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
5	4	3adant3l 1181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
6	5	coeq2d 5805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
7		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
9		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11	1, 2	ltrncnv 40135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
13	1, 2, 3	tendospdi1 41009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
14	7, 8, 9, 12, 13	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
15	6, 14	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
17	16	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
21	1, 2, 3	tendocl 40756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
23		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3	tendocl 40756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
25	18, 19, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
26		tendospcan.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27	26, 1, 2	ltrncoidN 40117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
28	18, 22, 25, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
29	18, 23, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
30	1, 2	ltrnco 40708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
31	18, 20, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33		tendospcan.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	26, 1, 2, 3, 33	tendoid0 40814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
35	18, 19, 31, 32, 34	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
36	17, 28, 35	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
37	36	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
38	37	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
39	38	necon1d 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
41		simpl3l 1229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
42		simpl3r 1230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
43	26, 1, 2	ltrncoidN 40117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
45	39, 44	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺))
46	45	3exp1 1353	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∈ 𝐸 → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
48	47	imp5a 440	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
49	48	com24 95	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50	49	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51		fveq2 6822	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺))
52	50, 51	impbid1 225	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ↦ cmpt 5173   I cid 5513  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  HLchlt 39339  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090  TEndoctendo 40741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-riotaBAD 38942

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-undef 8206  df-map 8755  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39165  df-ol 39167  df-oml 39168  df-covers 39255  df-ats 39256  df-atl 39287  df-cvlat 39311  df-hlat 39340  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tendo 40744

This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  41308