Theorem tendospcanN 41530

Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendospcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendospcanN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendospcan.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendospcan.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendospcan.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendocnv 41528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
5	4	3adant3l 1188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
6	5	coeq2d 5807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
7		simp1 1143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
9		simp3l 1209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simp3r 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11	1, 2	ltrncnv 40653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
12	7, 10, 11	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
13	1, 2, 3	tendospdi1 41527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
14	7, 8, 9, 12, 13	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
15	6, 14	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
16	15	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
17	16	eqeq1d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18		simpl1 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20		simpl3l 1236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
21	1, 2, 3	tendocl 41274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
23		simpl3r 1237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3	tendocl 41274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
25	18, 19, 23, 24	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
26		tendospcan.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27	26, 1, 2	ltrncoidN 40635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
28	18, 22, 25, 27	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
29	18, 23, 11	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
30	1, 2	ltrnco 41226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
31	18, 20, 29, 30	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
32		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33		tendospcan.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	26, 1, 2, 3, 33	tendoid0 41332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
35	18, 19, 31, 32, 34	syl112anc 1383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
36	17, 28, 35	3bitr3d 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
37	36	biimpd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
38	37	impancom 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
39	38	necon1d 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40		simpl1 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
41		simpl3l 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
42		simpl3r 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
43	26, 1, 2	ltrncoidN 40635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
45	39, 44	sylibd 241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺))
46	45	3exp1 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∈ 𝐸 → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
48	47	imp5a 442	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
49	48	com24 95	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50	49	3imp 1117	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51		fveq2 6831	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺))
52	50, 51	impbid1 227	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ↦ cmpt 5156   I cid 5515  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  HLchlt 39857  LHypclh 40491  LTrncltrn 40608  TEndoctendo 41259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8217  df-map 8769  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006  df-lvols 40007  df-lines 40008  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-lhyp 40495  df-laut 40496  df-ldil 40611  df-ltrn 40612  df-trl 40666  df-tendo 41262

This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  41826