Theorem tendospcanN 42000

Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendospcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendospcanN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendospcan.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendospcan.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendospcan.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendocnv 41998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
5	4	3adant3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
6	5	coeq2d 5836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
7		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
9		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11	1, 2	ltrncnv 41123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
13	1, 2, 3	tendospdi1 41997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
14	7, 8, 9, 12, 13	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
15	6, 14	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
17	16	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20		simpl3l 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
21	1, 2, 3	tendocl 41744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
23		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3	tendocl 41744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
25	18, 19, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
26		tendospcan.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27	26, 1, 2	ltrncoidN 41105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
28	18, 22, 25, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
29	18, 23, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
30	1, 2	ltrnco 41696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
31	18, 20, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33		tendospcan.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	26, 1, 2, 3, 33	tendoid0 41802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
35	18, 19, 31, 32, 34	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
36	17, 28, 35	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
37	36	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
38	37	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
39	38	necon1d 2977	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
41		simpl3l 1247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
42		simpl3r 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
43	26, 1, 2	ltrncoidN 41105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
45	39, 44	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺))
46	45	3exp1 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∈ 𝐸 → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
47	46	com24 96	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
48	47	imp5a 446	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
49	48	com24 96	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50	49	3imp 1128	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51		fveq2 6873	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺))
52	50, 51	impbid1 228	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ↦ cmpt 5185   I cid 5541  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  HLchlt 40327  LHypclh 40961  LTrncltrn 41078  TEndoctendo 41729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-riotaBAD 39930

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-undef 8268  df-map 8827  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-p1 18559  df-lat 18567  df-clat 18634  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-llines 40475  df-lplanes 40476  df-lvols 40477  df-lines 40478  df-psubsp 40480  df-pmap 40481  df-padd 40773  df-lhyp 40965  df-laut 40966  df-ldil 41081  df-ltrn 41082  df-trl 41136  df-tendo 41732

This theorem is used by:  dihmeetlem13N  42296