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Theorem tendospcanN 39536
Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendospcan.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendocnv 39534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) = (π‘†β€˜β—‘πΊ))
543adant3l 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) = (π‘†β€˜β—‘πΊ))
65coeq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
7 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
9 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
111, 2ltrncnv 38659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
127, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 39533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΊ)))
156, 14eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)))
1716eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡)))
18 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
20 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
211, 2, 3tendocl 39280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
241, 2, 3tendocl 39280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2726, 1, 2ltrncoidN 38641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)))
2918, 23, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ◑𝐺 ∈ 𝑇)
301, 2ltrnco 39232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 39338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 309 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 453 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 2962 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡)))
40 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 simpl3l 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
42 simpl3r 1230 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 38641 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘ ◑𝐺) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ)) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1353 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 442 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1112 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) β†’ 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6846 . 2 (𝐹 = 𝐺 β†’ (π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ))
5250, 51impbid1 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5192   I cid 5534  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  39832
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