Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospcanN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendospcanN 41006
Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendocnv 41004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
543adant3l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
65coeq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
7 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑆𝐸)
9 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
10 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
111, 2ltrncnv 40129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 41003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
156, 14eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1716eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆𝐸)
20 simpl3l 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
211, 2, 3tendocl 40750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
241, 2, 3tendocl 40750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐾)
2726, 1, 2ltrncoidN 40111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2918, 23, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
301, 2ltrnco 40702 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 40808 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 309 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 229 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 451 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 2960 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 simpl3l 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐹𝑇)
42 simpl3r 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐺𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 40111 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 239 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑆𝐸 → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 440 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1110 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6907 . 2 (𝐹 = 𝐺 → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺))
5250, 51impbid1 225 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cmpt 5231   I cid 5582  ccnv 5688  cres 5691  ccom 5693  cfv 6563  Basecbs 17245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  41302
  Copyright terms: Public domain W3C validator