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Theorem tendospcanN 39037
Description: Cancellation law for trace-preserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendocnv 39035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
543adant3l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
65coeq2d 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
7 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑆𝐸)
9 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
10 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
111, 2ltrncnv 38160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 39034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
156, 14eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1716eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆𝐸)
20 simpl3l 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
211, 2, 3tendocl 38781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
241, 2, 3tendocl 38781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐾)
2726, 1, 2ltrncoidN 38142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2918, 23, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
301, 2ltrnco 38733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 38839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 309 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 452 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 2965 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 simpl3l 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐹𝑇)
42 simpl3r 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐺𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 38142 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑆𝐸 → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 441 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1110 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6774 . 2 (𝐹 = 𝐺 → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺))
5250, 51impbid1 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cmpt 5157   I cid 5488  ccnv 5588  cres 5591  ccom 5593  cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  39333
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