Theorem tendocnv 39557

Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendosp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendosp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendosp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocnv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) = (𝑆‘◡𝐹))

Proof of Theorem tendocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendosp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendosp.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		tendosp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	tendocl 39303	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 2, 3	ltrn1o 38660	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8	1, 5, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
9		f1ococnv1 6818	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	10	coeq1d 5822	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)))
12		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
13	6, 2, 4	tendoid 39309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
15	6, 2, 3	ltrn1o 38660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16	15	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
17		f1ococnv2 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
19	18	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))))
20		f1ococnv2 6816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
21	8, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
22	14, 19, 21	3eqtr4rd 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)))
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
24	2, 3	ltrncnv 38682	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
25	24	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
26	2, 3, 4	tendospdi1 39556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
27	1, 12, 23, 25, 26	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
28	22, 27	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
29	28	coeq2d 5823	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹))) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹))))
30		coass 6222	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)))
31		coass 6222	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
32	29, 30, 31	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
33	10	coeq1d 5822	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
34	2, 3, 4	tendocl 39303	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇)
35	25, 34	syld3an3 1409	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇)
36	6, 2, 3	ltrn1o 38660	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	1, 35, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
38		f1of 6789	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
39		fcoi2 6722	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
41	32, 33, 40	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
42	2, 3	ltrncnv 38682	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
43	1, 5, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
44	6, 2, 3	ltrn1o 38660	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
45	1, 43, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46		f1of 6789	. . 3 ⊢ (◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47		fcoi2 6722	. . 3 ⊢ (◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ◡(𝑆‘𝐹))
48	45, 46, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ◡(𝑆‘𝐹))
49	11, 41, 48	3eqtr3rd 2780	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) = (𝑆‘◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   I cid 5535  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  Basecbs 17094  HLchlt 37885  LHypclh 38520  LTrncltrn 38637  TEndoctendo 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-p0 18328  df-p1 18329  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-covers 37801  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-lhyp 38524  df-laut 38525  df-ldil 38640  df-ltrn 38641  df-trl 38695  df-tendo 39291

This theorem is referenced by:  tendospcanN  39559  dihjatcclem4  39957