Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocnv 38262
 Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendosp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendosp.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendosp.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4tendocl 38008 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 2, 3ltrn1o 37365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
81, 5, 7syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
9 f1ococnv1 6634 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1110coeq1d 5719 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)))
12 simp2 1134 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝑆𝐸)
136, 2, 4tendoid 38014 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
141, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
156, 2, 3ltrn1o 37365 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16153adant2 1128 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
17 f1ococnv2 6632 . . . . . . . . 9 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1918fveq2d 6665 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))))
20 f1ococnv2 6632 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
218, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2214, 19, 213eqtr4rd 2870 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆‘(𝐹𝐹)))
23 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
242, 3ltrncnv 37387 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
25243adant2 1128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
262, 3, 4tendospdi1 38261 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐹𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
2822, 27eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
2928coeq2d 5720 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹))) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹))))
30 coass 6105 . . . 4 (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
31 coass 6105 . . . 4 (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
3229, 30, 313eqtr4g 2884 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)))
3310coeq1d 5719 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)))
342, 3, 4tendocl 38008 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
3525, 34syld3an3 1406 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
366, 2, 3ltrn1o 37365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
371, 35, 36syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
38 f1of 6606 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
39 fcoi2 6543 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4037, 38, 393syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4132, 33, 403eqtrd 2863 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
422, 3ltrncnv 37387 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
431, 5, 42syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
446, 2, 3ltrn1o 37365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 43, 44syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6606 . . 3 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi2 6543 . . 3 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4845, 46, 473syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4911, 41, 483eqtr3rd 2868 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   I cid 5446  ◡ccnv 5541   ↾ cres 5544   ∘ ccom 5546  ⟶wf 6339  –1-1-onto→wf1o 6342  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  HLchlt 36591  LHypclh 37225  LTrncltrn 37342  TEndoctendo 37993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-map 8404  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tendo 37996 This theorem is referenced by:  tendospcanN  38264  dihjatcclem4  38662
 Copyright terms: Public domain W3C validator