Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendocnv 40195
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 tendosp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendosp.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 tendosp.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4tendocl 39941 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
6 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
76, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
81, 5, 7syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
9 f1ococnv1 6861 . . . 4 ((π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1110coeq1d 5860 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)))
12 simp2 1135 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
136, 2, 4tendoid 39947 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
141, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
156, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
16153adant2 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
17 f1ococnv2 6859 . . . . . . . . 9 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1918fveq2d 6894 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
20 f1ococnv2 6859 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
218, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
2214, 19, 213eqtr4rd 2781 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)))
23 simp3 1136 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
242, 3ltrncnv 39320 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
25243adant2 1129 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
262, 3, 4tendospdi1 40194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
2822, 27eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
2928coeq2d 5861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ))) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ))))
30 coass 6263 . . . 4 ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)))
31 coass 6263 . . . 4 ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
3229, 30, 313eqtr4g 2795 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
3310coeq1d 5860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
342, 3, 4tendocl 39941 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇)
3525, 34syld3an3 1407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇)
366, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
371, 35, 36syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
38 f1of 6832 . . . 4 ((π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
39 fcoi2 6765 . . . 4 ((π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
4037, 38, 393syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
4132, 33, 403eqtrd 2774 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
422, 3ltrncnv 39320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
431, 5, 42syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
446, 2, 3ltrn1o 39298 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
451, 43, 44syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
46 f1of 6832 . . 3 (β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
47 fcoi2 6765 . . 3 (β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = β—‘(π‘†β€˜πΉ))
4845, 46, 473syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = β—‘(π‘†β€˜πΉ))
4911, 41, 483eqtr3rd 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   I cid 5572  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929
This theorem is referenced by:  tendospcanN  40197  dihjatcclem4  40595
  Copyright terms: Public domain W3C validator