Theorem tendocnv 41349

Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendosp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendosp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendosp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocnv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) = (𝑆‘◡𝐹))

Proof of Theorem tendocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendosp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendosp.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		tendosp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	tendocl 41095	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 2, 3	ltrn1o 40452	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8	1, 5, 7	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
9		f1ococnv1 6804	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	10	coeq1d 5811	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)))
12		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
13	6, 2, 4	tendoid 41101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14	1, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
15	6, 2, 3	ltrn1o 40452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16	15	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
17		f1ococnv2 6802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
19	18	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))))
20		f1ococnv2 6802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
21	8, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
22	14, 19, 21	3eqtr4rd 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)))
23		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
24	2, 3	ltrncnv 40474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
25	24	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
26	2, 3, 4	tendospdi1 41348	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
27	1, 12, 23, 25, 26	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
28	22, 27	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
29	28	coeq2d 5812	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹))) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹))))
30		coass 6225	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)))
31		coass 6225	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (◡(𝑆‘𝐹) ∘ ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
32	29, 30, 31	3eqtr4g 2797	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
33	10	coeq1d 5811	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)))
34	2, 3, 4	tendocl 41095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇)
35	25, 34	syld3an3 1412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇)
36	6, 2, 3	ltrn1o 40452	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	1, 35, 36	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
38		f1of 6775	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
39		fcoi2 6710	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘◡𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆‘◡𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
41	32, 33, 40	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((◡(𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘𝐹)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = (𝑆‘◡𝐹))
42	2, 3	ltrncnv 40474	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
43	1, 5, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
44	6, 2, 3	ltrn1o 40452	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
45	1, 43, 44	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46		f1of 6775	. . 3 ⊢ (◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47		fcoi2 6710	. . 3 ⊢ (◡(𝑆‘𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ◡(𝑆‘𝐹))
48	45, 46, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ ◡(𝑆‘𝐹)) = ◡(𝑆‘𝐹))
49	11, 41, 48	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) = (𝑆‘◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5519  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  HLchlt 39678  LHypclh 40312  LTrncltrn 40429  TEndoctendo 41080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39504  df-ol 39506  df-oml 39507  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679  df-lhyp 40316  df-laut 40317  df-ldil 40432  df-ltrn 40433  df-trl 40487  df-tendo 41083

This theorem is referenced by:  tendospcanN  41351  dihjatcclem4  41749