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Theorem tendocnv 40195
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 tendosp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendosp.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 tendosp.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4tendocl 39941 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
76, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
81, 5, 7syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
9 f1ococnv1 6862 . . . 4 ((π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1110coeq1d 5861 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)))
12 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
136, 2, 4tendoid 39947 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
156, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
16153adant2 1131 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
17 f1ococnv2 6860 . . . . . . . . 9 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1918fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (π‘†β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
20 f1ococnv2 6860 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
218, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
2214, 19, 213eqtr4rd 2783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)))
23 simp3 1138 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
242, 3ltrncnv 39320 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
25243adant2 1131 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
262, 3, 4tendospdi1 40194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐹)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
2822, 27eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
2928coeq2d 5862 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ))) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ))))
30 coass 6264 . . . 4 ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)))
31 coass 6264 . . . 4 ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ ((π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
3229, 30, 313eqtr4g 2797 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
3310coeq1d 5861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)))
342, 3, 4tendocl 39941 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇)
3525, 34syld3an3 1409 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇)
366, 2, 3ltrn1o 39298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜β—‘πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
371, 35, 36syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
38 f1of 6833 . . . 4 ((π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
39 fcoi2 6766 . . . 4 ((π‘†β€˜β—‘πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
4037, 38, 393syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ (π‘†β€˜β—‘πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
4132, 33, 403eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∘ (π‘†β€˜πΉ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
422, 3ltrncnv 39320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
431, 5, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
446, 2, 3ltrn1o 39298 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β—‘(π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
451, 43, 44syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
46 f1of 6833 . . 3 (β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
47 fcoi2 6766 . . 3 (β—‘(π‘†β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = β—‘(π‘†β€˜πΉ))
4845, 46, 473syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΉ)) = β—‘(π‘†β€˜πΉ))
4911, 41, 483eqtr3rd 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΉ) = (π‘†β€˜β—‘πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929
This theorem is referenced by:  tendospcanN  40197  dihjatcclem4  40595
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