Theorem tglowdim2l 28886

Description: Reformulation of the lower dimension axiom for dimension two. There exist three non-colinear points. Theorem 6.24 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2l	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem tglowdim2l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	axtglowdim2 28705	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)))
7		tglineintmo.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8	4	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
10		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
11		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
12	1, 7, 3, 8, 9, 10, 11	tgcolg 28789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
13	12	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
14	13	rexbidva 3193	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
15	14	rexbidva 3193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
16	15	rexbidva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
17	6, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  2c2 12295  Basecbs 17269  distcds 17319  TarskiGcstrkg 28662  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28666  Itvcitv 28668  LineGclng 28669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-trkgc 28683  df-trkgcb 28685  df-trkgld 28687  df-trkg 28688

This theorem is referenced by:  tglowdim2ln  28887