Theorem btwncolg3 27207

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
btwncolg3.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
btwncolg3	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem btwncolg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncolg3.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
2	1	3mix3d 1337	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3		tglngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		tglngval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tglngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tglngval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		tgcolg.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgcolg 27204	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
11	2, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  LineGclng 27084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-trkgc 27098  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103

This theorem is referenced by:  tgdim01ln  27214  lnxfr  27216  tgidinside  27221  tgbtwnconn1lem3  27224  tgbtwnconnln3  27228  tgbtwnconnln1  27230  tgbtwnconnln2  27231  legov  27235  legov2  27236  legtrd  27239  tglineeltr  27281  krippenlem  27340  midexlem  27342  footexALT  27368  footexlem2  27370  mideulem2  27384  hlpasch  27406  hypcgrlem1  27449  cgracol  27478