Theorem btwncolg3 28578

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
btwncolg3.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
btwncolg3	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem btwncolg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncolg3.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
2	1	3mix3d 1339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3		tglngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		tglngval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tglngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tglngval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		tgcolg.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgcolg 28575	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
11	2, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  TarskiGcstrkg 28448  Itvcitv 28454  LineGclng 28455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-trkgc 28469  df-trkgcb 28471  df-trkg 28474

This theorem is referenced by:  tgdim01ln  28585  lnxfr  28587  tgidinside  28592  tgbtwnconn1lem3  28595  tgbtwnconnln3  28599  tgbtwnconnln1  28601  tgbtwnconnln2  28602  legov  28606  legov2  28607  legtrd  28610  tglineeltr  28652  krippenlem  28711  midexlem  28713  footexALT  28739  footexlem2  28741  mideulem2  28755  hlpasch  28777  hypcgrlem1  28820  cgracol  28849