Theorem lnext 28660

Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnext.1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnext	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)

Distinct variable groups:   − ,𝑐   ∼ ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	axtgsegcon 28557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)))
11		lnxfr.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
12	4	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		tglngval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15	7	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16	8	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17	5	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	6	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
20		lnext.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
22		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))
23	22	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))
24		simpllr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
26	1, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23	tgcgrextend 28578	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑍) = (𝐴 − 𝑐))
27	1, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26	tgcgrcomlr 28573	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑍 − 𝑋) = (𝑐 − 𝐴))
28	1, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27	trgcgr 28609	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
29	28	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
30	29	reximdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
31	10, 30	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
32	1, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8	axtgsegcon 28557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)))
33	32	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)))
34	4	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	13	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36	7	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	8	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
38	5	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
39	6	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
40		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
41	20	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
42		simpllr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
44	1, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41	tgcgrcomlr 28573	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐴))
45		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))
46	45	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑍) = (𝐴 − 𝑐))
47	1, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46	tgcgrextend 28578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))
48	1, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46	tgcgrcomlr 28573	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑍 − 𝑋) = (𝑐 − 𝐴))
49	1, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48	trgcgr 28609	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
50	49	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
51	50	reximdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
52	33, 51	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
53	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
55	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
56	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
60	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
61	1, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60	tgcgrxfr 28611	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
62	4	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	13	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	8	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
65	7	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66	5	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
68	6	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
69		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
70	1, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	cgr3swap23 28617	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
71	70	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
72	71	reximdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
73	61, 72	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74		lnext.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
76	1, 75, 3, 4, 13, 8, 7	tgcolg 28647	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
77	74, 76	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
78	31, 52, 73, 77	mpjao3dan 1440	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ⟨“cs3 14802  Basecbs 17177  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28520  Itvcitv 28526  LineGclng 28527  cgrGccgrg 28603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-trkgc 28541  df-trkgb 28542  df-trkgcb 28543  df-trkg 28546  df-cgrg 28604

This theorem is referenced by:  legov  28678  legov2  28679  legtrd  28682  symquadlem  28782  trgcopy  28897  cgrg3col4  28946