MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnext 28590
Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lnext.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnext (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   ,𝑐   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
6 lnxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8axtgsegcon 28487 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
11 lnxfr.r . . . . . 6 = (cgrG‘𝐺)
124ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 tglngval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1413ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑋𝑃)
157ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌𝑃)
168ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑍𝑃)
175ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵𝑃)
19 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑐𝑃)
20 lnext.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
2120ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
22 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))
2322eqcomd 2741 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
24 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 simprl 771 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
261, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23tgcgrextend 28508 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
271, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26tgcgrcomlr 28503 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
281, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27trgcgr 28539 . . . . 5 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
2928ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3029reximdva 3166 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3110, 30mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
321, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8axtgsegcon 28487 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
3332adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
344ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3513ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋𝑃)
367ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑌𝑃)
378ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑍𝑃)
385ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴𝑃)
396ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐵𝑃)
40 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑐𝑃)
4120ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
42 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
441, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41tgcgrcomlr 28503 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
45 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))
4645eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
471, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46tgcgrextend 28508 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
481, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46tgcgrcomlr 28503 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
491, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48trgcgr 28539 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
5049ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5150reximdva 3166 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5233, 51mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
534adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
558adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
567adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
575adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
586adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
59 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6020adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
611, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60tgcgrxfr 28541 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
624ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6313ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋𝑃)
648ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍𝑃)
657ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌𝑃)
665ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴𝑃)
67 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐𝑃)
686ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵𝑃)
69 simprr 773 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
701, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69cgr3swap23 28547 . . . . 5 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
7170ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7271reximdva 3166 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7361, 72mpd 15 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74 lnext.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 13, 8, 7tgcolg 28577 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7831, 52, 73, 77mpjao3dan 1431 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  cgrGccgrg 28533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534
This theorem is referenced by:  legov  28608  legov2  28609  legtrd  28612  symquadlem  28712  trgcopy  28827  cgrg3col4  28876
  Copyright terms: Public domain W3C validator