MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnext 26367
Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lnext.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnext (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   ,𝑐   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
6 lnxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8axtgsegcon 26264 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
109adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
11 lnxfr.r . . . . . 6 = (cgrG‘𝐺)
124ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 tglngval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1413ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑋𝑃)
157ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌𝑃)
168ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑍𝑃)
175ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵𝑃)
19 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑐𝑃)
20 lnext.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
2120ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
22 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))
2322eqcomd 2830 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
24 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
261, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23tgcgrextend 26285 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
271, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26tgcgrcomlr 26280 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
281, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27trgcgr 26316 . . . . 5 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
2928ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3029reximdva 3267 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3110, 30mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
321, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8axtgsegcon 26264 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
3332adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
344ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3513ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋𝑃)
367ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑌𝑃)
378ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑍𝑃)
385ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴𝑃)
396ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐵𝑃)
40 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑐𝑃)
4120ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
42 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
441, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41tgcgrcomlr 26280 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
45 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))
4645eqcomd 2830 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
471, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46tgcgrextend 26285 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
481, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46tgcgrcomlr 26280 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
491, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48trgcgr 26316 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
5049ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5150reximdva 3267 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5233, 51mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
534adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
558adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
567adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
575adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
586adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
59 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6020adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
611, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60tgcgrxfr 26318 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
624ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6313ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋𝑃)
648ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍𝑃)
657ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌𝑃)
665ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴𝑃)
67 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐𝑃)
686ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵𝑃)
69 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
701, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69cgr3swap23 26324 . . . . 5 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
7170ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7271reximdva 3267 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7361, 72mpd 15 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74 lnext.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 13, 8, 7tgcolg 26354 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7831, 52, 73, 77mpjao3dan 1428 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  ⟨“cs3 14207  Basecbs 16486  distcds 16577  TarskiGcstrkg 26230  Itvcitv 26236  LineGclng 26237  cgrGccgrg 26310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-pm 8406  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-hash 13699  df-word 13870  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-trkgc 26248  df-trkgb 26249  df-trkgcb 26250  df-trkg 26253  df-cgrg 26311
This theorem is referenced by:  legov  26385  legov2  26386  legtrd  26389  symquadlem  26489  trgcopy  26604  cgrg3col4  26653
  Copyright terms: Public domain W3C validator