Theorem lnext 28794

Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnext.1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnext	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)

Distinct variable groups:   − ,𝑐   ∼ ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		lnxfr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	axtgsegcon 28691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)))
11		lnxfr.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
12	4	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		tglngval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15	7	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
16	8	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17	5	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	6	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
20		lnext.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
22		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))
23	22	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))
24		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
26	1, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23	tgcgrextend 28712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑍) = (𝐴 − 𝑐))
27	1, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26	tgcgrcomlr 28707	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → (𝑍 − 𝑋) = (𝑐 − 𝐴))
28	1, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27	trgcgr 28743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
29	28	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
30	29	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑌 − 𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
31	10, 30	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
32	1, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8	axtgsegcon 28691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)))
33	32	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)))
34	4	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	13	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36	7	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	8	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
38	5	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
39	6	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
40		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
41	20	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
42		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
44	1, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41	tgcgrcomlr 28707	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐴))
45		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))
46	45	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑋 − 𝑍) = (𝐴 − 𝑐))
47	1, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46	tgcgrextend 28712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))
48	1, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46	tgcgrcomlr 28707	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → (𝑍 − 𝑋) = (𝑐 − 𝐴))
49	1, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48	trgcgr 28743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
50	49	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
51	50	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 − 𝑐) = (𝑋 − 𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
52	33, 51	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
53	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
55	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
56	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
60	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
61	1, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60	tgcgrxfr 28745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
62	4	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	13	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	8	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
65	7	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66	5	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
67		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
68	6	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
69		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
70	1, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	cgr3swap23 28751	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
71	70	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
72	71	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
73	61, 72	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74		lnext.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
76	1, 75, 3, 4, 13, 8, 7	tgcolg 28781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
77	74, 76	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
78	31, 52, 73, 77	mpjao3dan 1455	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ⟨“cs3 14869  Basecbs 17259  distcds 17309  TarskiGcstrkg 28654  Itvcitv 28660  LineGclng 28661  cgrGccgrg 28737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-trkgc 28675  df-trkgb 28676  df-trkgcb 28677  df-trkg 28680  df-cgrg 28738

This theorem is referenced by:  legov  28812  legov2  28813  legtrd  28816  symquadlem  28920  trgcopy  29056  cgrg3col4  29105