MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oieu 9579
Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oieu ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 oicl.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 9572 . . . . . . . 8 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5 isocnv 7350 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7 isotr 7356 . . . . . 6 ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
81, 6, 7syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9 simprl 771 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
102oicl 9569 . . . . . 6 Ord dom 𝐹
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12 ordiso2 9555 . . . . 5 (((𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
138, 9, 11, 12syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14 ordwe 6397 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
1514ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16 epse 5667 . . . . . 6 E Se 𝐵
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18 isoeq4 7340 . . . . . . 7 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
204, 19mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21 weisoeq 7375 . . . . 5 ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2215, 17, 1, 20, 21syl22anc 839 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2313, 22jca 511 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹))
2423ex 412 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
253, 10jctil 519 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26 ordeq 6391 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28 isoeq4 7340 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29 isoeq1 7337 . . . . 5 (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3028, 29sylan9bb 509 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3127, 30anbi12d 632 . . 3 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
3225, 31syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
3324, 32impbid 212 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540   E cep 5583   Se wse 5635   We wwe 5636  ccnv 5684  dom cdm 5685  ccom 5689  Ord word 6383   Isom wiso 6562  OrdIsocoi 9549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-oi 9550
This theorem is referenced by:  hartogslem1  9582  cantnfp1lem3  9720  oemapwe  9734  cantnffval2  9735  om2uzoi  13996  om2noseqoi  28309
  Copyright terms: Public domain W3C validator