Theorem oieu 9568

Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oieu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		oicl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5		isocnv 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7		isotr 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
10	2	oicl 9558	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝐹
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12		ordiso2 9544	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14		ordwe 6399	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
15	14	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16		epse 5638	. . . . . 6 ⊢ E Se 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18		isoeq4 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
19	13, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
20	4, 19	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21		weisoeq 7394	. . . . 5 ⊢ ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
22	15, 17, 1, 20, 21	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
23	13, 22	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹))
24	23	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))
25	3, 10	jctil 529	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26		ordeq 6393	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28		isoeq4 7357	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29		isoeq1 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
30	28, 29	sylan9bb 519	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
31	27, 30	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
32	25, 31	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
33	24, 32	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   E cep 5555   Se wse 5607   We wwe 5608  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656   ∘ ccom 5660  Ord word 6385   Isom wiso 6565  OrdIsocoi 9538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-oi 9539

This theorem is used by:  hartogslem1  9571  cantnfp1lem3  9716  oemapwe  9730  cantnffval2  9731  om2uzoi  14136  om2noseqoi  28735