Theorem oieu 9366

Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oieu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		oicl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5		isocnv 7238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7		isotr 7244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
10	2	oicl 9356	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝐹
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12		ordiso2 9342	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14		ordwe 6299	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
15	14	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16		epse 5588	. . . . . 6 ⊢ E Se 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18		isoeq4 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
20	4, 19	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21		weisoeq 7263	. . . . 5 ⊢ ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
22	15, 17, 1, 20, 21	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
23	13, 22	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹))
24	23	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))
25	3, 10	jctil 520	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26		ordeq 6293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
27	26	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28		isoeq4 7228	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29		isoeq1 7225	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
30	28, 29	sylan9bb 510	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
31	27, 30	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
32	25, 31	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
33	24, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   E cep 5510   Se wse 5558   We wwe 5559  ^◡ccnv 5604  dom cdm 5605   ∘ ccom 5609  Ord word 6285   Isom wiso 6464  OrdIsocoi 9336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-oi 9337

This theorem is referenced by:  hartogslem1  9369  cantnfp1lem3  9506  oemapwe  9520  cantnffval2  9521  om2uzoi  13745