MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oieu 8684
Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oieu ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu
StepHypRef Expression
1 simprr 790 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 oicl.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 8677 . . . . . . . 8 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5 isocnv 6806 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7 isotr 6812 . . . . . 6 ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
81, 6, 7syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9 simprl 788 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
102oicl 8674 . . . . . 6 Ord dom 𝐹
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12 ordiso2 8660 . . . . 5 (((𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
138, 9, 11, 12syl3anc 1491 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14 ordwe 5952 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
1514ad2antrl 720 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16 epse 5293 . . . . . 6 E Se 𝐵
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18 isoeq4 6796 . . . . . . 7 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
204, 19mpbird 249 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21 weisoeq 6831 . . . . 5 ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2215, 17, 1, 20, 21syl22anc 868 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2313, 22jca 508 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹))
2423ex 402 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
253, 10jctil 516 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26 ordeq 5946 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
2726adantr 473 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28 isoeq4 6796 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29 isoeq1 6793 . . . . 5 (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3028, 29sylan9bb 506 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3127, 30anbi12d 625 . . 3 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
3225, 31syl5ibrcom 239 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
3324, 32impbid 204 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653   E cep 5222   Se wse 5267   We wwe 5268  ccnv 5309  dom cdm 5310  ccom 5314  Ord word 5938   Isom wiso 6100  OrdIsocoi 8654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-oi 8655
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8687  cantnfp1lem3  8825  oemapwe  8839  cantnffval2  8840  om2uzoi  13005
  Copyright terms: Public domain W3C validator