MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oieu 9530
Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oieu ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu
StepHypRef Expression
1 simprr 770 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 oicl.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 9523 . . . . . . . 8 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5 isocnv 7319 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7 isotr 7325 . . . . . 6 ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
81, 6, 7syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9 simprl 768 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
102oicl 9520 . . . . . 6 Ord dom 𝐹
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12 ordiso2 9506 . . . . 5 (((𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
138, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14 ordwe 6367 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
1514ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16 epse 5649 . . . . . 6 E Se 𝐵
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18 isoeq4 7309 . . . . . . 7 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
204, 19mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21 weisoeq 7344 . . . . 5 ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2215, 17, 1, 20, 21syl22anc 836 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2313, 22jca 511 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹))
2423ex 412 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
253, 10jctil 519 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26 ordeq 6361 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28 isoeq4 7309 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29 isoeq1 7306 . . . . 5 (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3028, 29sylan9bb 509 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3127, 30anbi12d 630 . . 3 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
3225, 31syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
3324, 32impbid 211 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533   E cep 5569   Se wse 5619   We wwe 5620  ccnv 5665  dom cdm 5666  ccom 5670  Ord word 6353   Isom wiso 6534  OrdIsocoi 9500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-oi 9501
This theorem is referenced by:  hartogslem1  9533  cantnfp1lem3  9671  oemapwe  9685  cantnffval2  9686  om2uzoi  13917  om2noseqoi  28092
  Copyright terms: Public domain W3C validator