Theorem oieu 9492

Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oieu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		oicl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5		isocnv 7305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7		isotr 7311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
10	2	oicl 9482	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝐹
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12		ordiso2 9468	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14		ordwe 6345	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
15	14	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16		epse 5620	. . . . . 6 ⊢ E Se 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18		isoeq4 7295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
20	4, 19	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21		weisoeq 7330	. . . . 5 ⊢ ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
22	15, 17, 1, 20, 21	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
23	13, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹))
24	23	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))
25	3, 10	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26		ordeq 6339	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28		isoeq4 7295	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29		isoeq1 7292	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
30	28, 29	sylan9bb 509	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
31	27, 30	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
32	25, 31	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
33	24, 32	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   E cep 5537   Se wse 5589   We wwe 5590  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  Ord word 6331   Isom wiso 6512  OrdIsocoi 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-oi 9463

This theorem is referenced by:  hartogslem1  9495  cantnfp1lem3  9633  oemapwe  9647  cantnffval2  9648  om2uzoi  13920  om2noseqoi  28197