Theorem oieu 9515

Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oieu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		oicl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5		isocnv 7335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7		isotr 7341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
10	2	oicl 9505	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝐹
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12		ordiso2 9491	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14		ordwe 6374	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
15	14	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16		epse 5641	. . . . . 6 ⊢ E Se 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18		isoeq4 7325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
19	13, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
20	4, 19	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21		weisoeq 7362	. . . . 5 ⊢ ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
22	15, 17, 1, 20, 21	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
23	13, 22	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹))
24	23	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))
25	3, 10	jctil 529	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26		ordeq 6368	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28		isoeq4 7325	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29		isoeq1 7322	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
30	28, 29	sylan9bb 519	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
31	27, 30	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹 ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
32	25, 31	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
33	24, 32	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵 ∧ 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹 ∧ 𝐺 = 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   E cep 5558   Se wse 5610   We wwe 5611  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663  Ord word 6360   Isom wiso 6538  OrdIsocoi 9485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-oi 9486

This theorem is used by:  hartogslem1  9518  cantnfp1lem3  9663  oemapwe  9677  cantnffval2  9678  om2uzoi  14023  om2noseqoi  28576