Theorem xkotf 23793

Description: Functionality of function 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoval.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
xkoval.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}
xkoval.t	⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
xkotf	⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   𝑓,𝑘,𝑣,𝑥,𝑅   𝑆,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑓)   𝑋(𝑣, 𝑓)

Proof of Theorem xkotf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
2		ssrab2 4035	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ⊆ (𝑅 Cn 𝑆)
3	1, 2	elpwi2 5308	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
4	3	rgen2w 3086	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
5		xkoval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})
6	5	fmpo 8071	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874   × cxp 5661   “ cima 5666  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↾_t crest 17495   Cn ccn 23431  Compccmp 23593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993

This theorem is used by:  xkoopn  23797  xkouni  23807  xkoccn  23827  xkoco1cn  23865  xkoco2cn  23866  xkococn  23868  xkoinjcn  23895