MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xkotf 23433
Description: Functionality of function 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoval.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
xkoval.k 𝐾 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
xkoval.t 𝑇 = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
Assertion
Ref Expression
xkotf 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝐾   𝑓,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑅   𝑆,𝑓,π‘˜,𝑣,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑓)   𝑋(𝑣,𝑓)

Proof of Theorem xkotf
StepHypRef Expression
1 ovex 7435 . . . 4 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
2 ssrab2 4070 . . . 4 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} βŠ† (𝑅 Cn 𝑆)
31, 2elpwi2 5337 . . 3 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
43rgen2w 3058 . 2 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
5 xkoval.t . . 3 𝑇 = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
65fmpo 8048 . 2 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆))
74, 6mpbi 229 1 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  βˆͺ cuni 4900   Γ— cxp 5665   β€œ cima 5670  βŸΆwf 6530  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404   β†Ύt crest 17371   Cn ccn 23072  Compccmp 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970
This theorem is referenced by:  xkoopn  23437  xkouni  23447  xkoccn  23467  xkoco1cn  23505  xkoco2cn  23506  xkococn  23508  xkoinjcn  23535
  Copyright terms: Public domain W3C validator