Theorem xkotf 23710

Description: Functionality of function 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoval.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
xkoval.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}
xkoval.t	⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
xkotf	⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   𝑓,𝑘,𝑣,𝑥,𝑅   𝑆,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑋(𝑣,𝑓)

Proof of Theorem xkotf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
2		ssrab2 4042	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ⊆ (𝑅 Cn 𝑆)
3	1, 2	elpwi2 5306	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
4	3	rgen2w 3090	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
5		xkoval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})
6	5	fmpo 8064	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4876   × cxp 5660   “ cima 5665  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↾_t crest 17472   Cn ccn 23349  Compccmp 23511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986

This theorem is referenced by:  xkoopn  23714  xkouni  23724  xkoccn  23744  xkoco1cn  23782  xkoco2cn  23783  xkococn  23785  xkoinjcn  23812