Theorem xkotf 23753

Description: Functionality of function 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoval.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
xkoval.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}
xkoval.t	⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
xkotf	⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   𝑓,𝑘,𝑣,𝑥,𝑅   𝑆,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑓)   𝑋(𝑣, 𝑓)

Proof of Theorem xkotf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
2		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ⊆ (𝑅 Cn 𝑆)
3	1, 2	elpwi2 5305	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
4	3	rgen2w 3083	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
5		xkoval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})
6	5	fmpo 8063	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ 𝑇:(𝐾 × 𝑆)⟶𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   × cxp 5658   “ cima 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↾_t crest 17479   Cn ccn 23392  Compccmp 23554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985

This theorem is used by:  xkoopn  23757  xkouni  23767  xkoccn  23787  xkoco1cn  23825  xkoco2cn  23826  xkococn  23828  xkoinjcn  23855