MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xkotf 23502
Description: Functionality of function 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoval.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
xkoval.k 𝐾 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
xkoval.t 𝑇 = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
Assertion
Ref Expression
xkotf 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝐾   𝑓,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑅   𝑆,𝑓,π‘˜,𝑣,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑓)   𝑋(𝑣,𝑓)

Proof of Theorem xkotf
StepHypRef Expression
1 ovex 7453 . . . 4 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
2 ssrab2 4075 . . . 4 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} βŠ† (𝑅 Cn 𝑆)
31, 2elpwi2 5348 . . 3 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
43rgen2w 3063 . 2 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
5 xkoval.t . . 3 𝑇 = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
65fmpo 8072 . 2 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆))
74, 6mpbi 229 1 𝑇:(𝐾 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5676   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   β†Ύt crest 17402   Cn ccn 23141  Compccmp 23303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994
This theorem is referenced by:  xkoopn  23506  xkouni  23516  xkoccn  23536  xkoco1cn  23574  xkoco2cn  23575  xkococn  23577  xkoinjcn  23604
  Copyright terms: Public domain W3C validator