MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkouni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkouni 23103
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
Assertion
Ref Expression
xkouni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ 𝐽)
Proof of Theorem xkouni
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 6077 . . . . . . . . 9 (𝑓 β€œ βˆ…) = βˆ…
2 0ss 4397 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑆
31, 2eqsstri 4017 . . . . . . . 8 (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆
43a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
54ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 Cn 𝑆)(𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
6 rabid2 3465 . . . . . 6 ((𝑅 Cn 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆} ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 Cn 𝑆)(𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
75, 6sylibr 233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆})
8 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
9 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ 𝑅 ∈ Top)
10 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ 𝑆 ∈ Top)
11 0ss 4397 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑅
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑅)
13 rest0 22673 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Top β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
15 0cmp 22898 . . . . . . 7 {βˆ…} ∈ Comp
1614, 15eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) ∈ Comp)
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1817topopn 22408 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1918adantl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 23093 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆} ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
217, 20eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
22 xkouni.1 . . . 4 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ 𝐽)
24 elssuni 4942 . . 3 ((𝑅 Cn 𝑆) ∈ 𝐽 β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2523, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
26 eqid 2733 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
27 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
288, 26, 27xkoval 23091 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
2928unieqd 4923 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ (𝑆 ↑ko 𝑅) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
3022unieqi 4922 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝑆 ↑ko 𝑅)
31 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
3231pwex 5379 . . . . . . 7 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
338, 26, 27xkotf 23089 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
34 frn 6725 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
3632, 35ssexi 5323 . . . . . 6 ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
37 fiuni 9423 . . . . . 6 (ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5 βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
39 fvex 6905 . . . . . 6 (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ V
40 unitg 22470 . . . . . 6 ((fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
4238, 41eqtr4i 2764 . . . 4 βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
4329, 30, 423eqtr4g 2798 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
4435a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
45 sspwuni 5104 . . . 4 (ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4644, 45sylib 217 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4743, 46eqsstrd 4021 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4825, 47eqssd 4000 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ficfi 9405   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395   Cn ccn 22728  Compccmp 22890   ↑ko cxko 23065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-xko 23067
This theorem is referenced by:  xkotopon  23104  xkohaus  23157  xkoptsub  23158
  Copyright terms: Public domain W3C validator