MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkouni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkouni 23323
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
Assertion
Ref Expression
xkouni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ 𝐽)
Proof of Theorem xkouni
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 6076 . . . . . . . . 9 (𝑓 β€œ βˆ…) = βˆ…
2 0ss 4396 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑆
31, 2eqsstri 4016 . . . . . . . 8 (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆
43a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
54ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 Cn 𝑆)(𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
6 rabid2 3464 . . . . . 6 ((𝑅 Cn 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆} ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 Cn 𝑆)(𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆)
75, 6sylibr 233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆})
8 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ 𝑅 ∈ Top)
10 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ 𝑆 ∈ Top)
11 0ss 4396 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑅
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑅)
13 rest0 22893 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Top β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
15 0cmp 23118 . . . . . . 7 {βˆ…} ∈ Comp
1614, 15eqeltrdi 2841 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆ…) ∈ Comp)
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1817topopn 22628 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 23313 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ βˆ…) βŠ† βˆͺ 𝑆} ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
217, 20eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
22 xkouni.1 . . . 4 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2321, 22eleqtrrdi 2844 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) ∈ 𝐽)
24 elssuni 4941 . . 3 ((𝑅 Cn 𝑆) ∈ 𝐽 β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2523, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
26 eqid 2732 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
27 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
288, 26, 27xkoval 23311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
2928unieqd 4922 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ (𝑆 ↑ko 𝑅) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
3022unieqi 4921 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝑆 ↑ko 𝑅)
31 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
3231pwex 5378 . . . . . . 7 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ∈ V
338, 26, 27xkotf 23309 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆)
34 frn 6724 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑆) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆)
3632, 35ssexi 5322 . . . . . 6 ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
37 fiuni 9425 . . . . . 6 (ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5 βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
39 fvex 6904 . . . . . 6 (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ V
40 unitg 22690 . . . . . 6 ((fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) = βˆͺ (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
4238, 41eqtr4i 2763 . . . 4 βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})))
4329, 30, 423eqtr4g 2797 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
4435a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆))
45 sspwuni 5103 . . . 4 (ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑆) ↔ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4644, 45sylib 217 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4743, 46eqsstrd 4020 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† (𝑅 Cn 𝑆))
4825, 47eqssd 3999 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ficfi 9407   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  Topctop 22615   Cn ccn 22948  Compccmp 23110   ↑ko cxko 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-xko 23287
This theorem is referenced by:  xkotopon  23324  xkohaus  23377  xkoptsub  23378
  Copyright terms: Public domain W3C validator