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Theorem xkoco2cn 23582
Description: If 𝐹 is a continuous function, then 𝑔 ↦ 𝐹 ∘ 𝑔 is a continuous function on function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco2cn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Top)
xkoco2cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇))
Assertion
Ref Expression
xkoco2cn (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn (𝑇 ↑ko 𝑅)))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem xkoco2cn
Dummy variables π‘˜ 𝑣 π‘₯ β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
2 xkoco2cn.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇))
32adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇))
4 cnco 23190 . . . 4 ((𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 Cn 𝑇))
51, 3, 4syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 Cn 𝑇))
65fmpttd 7130 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):(𝑅 Cn 𝑆)⟢(𝑅 Cn 𝑇))
7 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
8 eqid 2728 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp} = {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}
9 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
107, 8, 9xkobval 23510 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})}
1110eqabri 2873 . . . 4 (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆))
132ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇))
1412, 13, 4syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 Cn 𝑇))
15 imaeq1 6063 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (𝐹 ∘ 𝑔) β†’ (β„Ž β€œ π‘˜) = ((𝐹 ∘ 𝑔) β€œ π‘˜))
16 imaco 6260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∘ 𝑔) β€œ π‘˜) = (𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜))
1715, 16eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (𝐹 ∘ 𝑔) β†’ (β„Ž β€œ π‘˜) = (𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)))
1817sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = (𝐹 ∘ 𝑔) β†’ ((β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ (𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)) βŠ† 𝑣))
1918elrab3 3685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 Cn 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ (𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)) βŠ† 𝑣))
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ (𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)) βŠ† 𝑣))
21 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
22 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2321, 22cnf 23170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇) β†’ 𝐹:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝑇)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝑇)
2524ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝐹:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝑇)
2625ffund 6731 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ Fun 𝐹)
27 imassrn 6079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† ran 𝑔
287, 21cnf 23170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) β†’ 𝑔:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑆)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ 𝑔:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑆)
3029frnd 6735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ ran 𝑔 βŠ† βˆͺ 𝑆)
3127, 30sstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝑆)
3225fdmd 6738 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝑆)
3331, 32sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† dom 𝐹)
34 funimass3 7068 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑣)))
3526, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑔 β€œ π‘˜)) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑣)))
3620, 35bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑣)))
3736rabbidva 3437 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} = {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑣)})
38 xkoco2cn.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Top)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑅 ∈ Top)
40 cntop1 23164 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ Top)
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ Top)
43 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅)
4443elpwid 4615 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑅)
45 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
462ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇))
47 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑣 ∈ 𝑇)
48 cnima 23189 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝑆)
4946, 47, 48syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑣) ∈ 𝑆)
507, 39, 42, 44, 45, 49xkoopn 23513 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑔 β€œ π‘˜) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑣)} ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
5137, 50eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
52 imaeq2 6064 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) = (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
53 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))
5453mptpreima 6247 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
5552, 54eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) = {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
5655eleq1d 2814 . . . . . . 7 (π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ ((β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅) ↔ {𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅)))
5751, 56syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅)))
5857expimpd 452 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇)) β†’ (((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅)))
5958rexlimdvva 3209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘…βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((𝑅 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ π‘₯ = {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅)))
6011, 59biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅)))
6160ralrimiv 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))
62 eqid 2728 . . . . 5 (𝑆 ↑ko 𝑅) = (𝑆 ↑ko 𝑅)
6362xkotopon 23524 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
6438, 41, 63syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
65 ovex 7459 . . . . . 6 (𝑅 Cn 𝑇) ∈ V
6665pwex 5384 . . . . 5 𝒫 (𝑅 Cn 𝑇) ∈ V
677, 8, 9xkotf 23509 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp} Γ— 𝑇)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑇)
68 frn 6734 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp} Γ— 𝑇)βŸΆπ’« (𝑅 Cn 𝑇) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑇))
6967, 68ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑅 Cn 𝑇)
7066, 69ssexi 5326 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
7170a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V)
72 cntop2 23165 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 Cn 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ Top)
732, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Top)
747, 8, 9xkoval 23511 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑇 ∈ Top) β†’ (𝑇 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
7538, 73, 74syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑇 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
76 eqid 2728 . . . . 5 (𝑇 ↑ko 𝑅) = (𝑇 ↑ko 𝑅)
7776xkotopon 23524 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑇 ∈ Top) β†’ (𝑇 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑇)))
7838, 73, 77syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑇 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑇)))
7964, 71, 75, 78subbascn 23178 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn (𝑇 ↑ko 𝑅)) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):(𝑅 Cn 𝑆)⟢(𝑅 Cn 𝑇) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑇 ↦ {β„Ž ∈ (𝑅 Cn 𝑇) ∣ (β„Ž β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(β—‘(𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 ↑ko 𝑅))))
806, 61, 79mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn (𝑇 ↑ko 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  ficfi 9441   β†Ύt crest 17409  topGenctg 17426  Topctop 22815  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148  Compccmp 23310   ↑ko cxko 23485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-fin 8974  df-fi 9442  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cmp 23311  df-xko 23487
This theorem is referenced by:  cnmptk1  23605
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