Theorem ptopn2 23499

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ptopn2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
3		snfi 8965	. . 3 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5		ptopn2.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌)))
9	6, 8	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑌 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘))
11	2	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
13	12	topopn 22821	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
16	10, 15	ifclda 4508	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐹‘𝑘))
17		eldifn 4079	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18		velsn 4589	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
19	17, 18	sylnib 328	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
20	19	iffalsed 4483	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 23498	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  ifcif 4472  {csn 4573  ∪ cuni 4856  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Xcixp 8821  Fincfn 8869  ∏_tcpt 17342  Topctop 22808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-ixp 8822  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-top 22809  df-bases 22861

This theorem is referenced by:  ptcld  23528