Theorem ptopn2 23912

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ptopn2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
3		snfi 9079	. . 3 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5		ptopn2.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
7		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌)))
9	6, 8	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑌 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘)))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘))
11	2	ffvelcdmda 7089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
13	12	topopn 23233	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
16	10, 15	ifclda 4517	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐹‘𝑘))
17		eldifn 4067	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18		velsn 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
19	17, 18	sylnib 331	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
20	19	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 23911	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4044  ifcif 4481  {csn 4584  ∪ cuni 4866  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Xcixp 8933  Fincfn 8981  ∏_tcpt 17618  Topctop 23220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8484  df-2o 8485  df-ixp 8934  df-en 8982  df-fin 8985  df-fi 9410  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-top 23221  df-bases 23273

This theorem is used by:  ptcld  23941