Theorem ptopn2 23526

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ptopn2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
3		snfi 8978	. . 3 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5		ptopn2.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
7		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌)))
9	6, 8	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑌 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘))
11	2	ffvelcdmda 7027	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
13	12	topopn 22848	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
16	10, 15	ifclda 4513	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐹‘𝑘))
17		eldifn 4082	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18		velsn 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
19	17, 18	sylnib 328	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
20	19	iffalsed 4488	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 23525	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  ifcif 4477  {csn 4578  ∪ cuni 4861  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Xcixp 8833  Fincfn 8881  ∏_tcpt 17356  Topctop 22835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-ixp 8834  df-en 8882  df-fin 8885  df-fi 9312  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-top 22836  df-bases 22888

This theorem is referenced by:  ptcld  23555