MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptopn2 23608
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a (𝜑𝐴𝑉)
ptopn2.f (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
Assertion
Ref Expression
ptopn2 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 ptopn2.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
3 snfi 9082 . . 3 {𝑌} ∈ Fin
43a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5 ptopn2.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
7 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
87eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹𝑌)))
96, 8syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 = 𝑌𝑂 ∈ (𝐹𝑘)))
109imp 406 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑘))
112ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ Top)
12 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
1312topopn 22928 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ Top → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1514adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1610, 15ifclda 4566 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (𝐹𝑘))
17 eldifn 4142 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18 velsn 4647 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
1917, 18sylnib 328 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
2019iffalsed 4542 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
2120adantl 481 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
221, 2, 4, 16, 21ptopn 23607 1 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   cuni 4912  wf 6559  cfv 6563  Xcixp 8936  Fincfn 8984  tcpt 17485  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-ixp 8937  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-top 22916  df-bases 22969
This theorem is referenced by:  ptcld  23637
  Copyright terms: Public domain W3C validator