Theorem ptopn2 23567

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ptopn2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
3		snfi 8980	. . 3 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5		ptopn2.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
7		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌)))
9	6, 8	syl5ibrcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑌 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘)))
10	9	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘))
11	2	ffvelcdmda 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
12		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
13	12	topopn 22889	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
16	10, 15	ifclda 4490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐹‘𝑘))
17		eldifn 4062	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18		velsn 4571	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
19	17, 18	sylnib 329	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
20	19	iffalsed 4465	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 23566	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555  ∪ cuni 4838  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Xcixp 8835  Fincfn 8883  ∏_tcpt 17392  Topctop 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-ixp 8836  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-top 22877  df-bases 22929

This theorem is referenced by:  ptcld  23596