MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptopn2 21886
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a (𝜑𝐴𝑉)
ptopn2.f (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
Assertion
Ref Expression
ptopn2 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 ptopn2.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
3 snfi 8383 . . 3 {𝑌} ∈ Fin
43a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5 ptopn2.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
65adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
7 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
87eleq2d 2845 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹𝑌)))
96, 8syl5ibrcom 239 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 = 𝑌𝑂 ∈ (𝐹𝑘)))
109imp 398 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑘))
112ffvelrnda 6670 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ Top)
12 eqid 2772 . . . . . 6 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
1312topopn 21208 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ Top → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1514adantr 473 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1610, 15ifclda 4378 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (𝐹𝑘))
17 eldifn 3990 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18 velsn 4451 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
1917, 18sylnib 320 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
2019iffalsed 4355 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
2120adantl 474 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
221, 2, 4, 16, 21ptopn 21885 1 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  cdif 3822  ifcif 4344  {csn 4435   cuni 4706  wf 6178  cfv 6182  Xcixp 8251  Fincfn 8298  tcpt 16558  Topctop 21195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ixp 8252  df-en 8299  df-fin 8302  df-fi 8662  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-top 21196  df-bases 21248
This theorem is referenced by:  ptcld  21915
  Copyright terms: Public domain W3C validator