MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptopn2 21608
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a (𝜑𝐴𝑉)
ptopn2.f (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
Assertion
Ref Expression
ptopn2 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 ptopn2.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
3 snfi 8198 . . 3 {𝑌} ∈ Fin
43a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5 ptopn2.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
65adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
7 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
87eleq2d 2836 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹𝑌)))
96, 8syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 = 𝑌𝑂 ∈ (𝐹𝑘)))
109imp 393 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑘))
112ffvelrnda 6504 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ Top)
12 eqid 2771 . . . . . 6 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
1312topopn 20931 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ Top → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1514adantr 466 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1610, 15ifclda 4260 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (𝐹𝑘))
17 eldifn 3884 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18 velsn 4333 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
1917, 18sylnib 317 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
2019iffalsed 4237 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
2120adantl 467 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
221, 2, 4, 16, 21ptopn 21607 1 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  ifcif 4226  {csn 4317   cuni 4575  wf 6026  cfv 6030  Xcixp 8066  Fincfn 8113  tcpt 16307  Topctop 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ixp 8067  df-en 8114  df-fin 8117  df-fi 8477  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-top 20919  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  ptcld  21637
  Copyright terms: Public domain W3C validator