MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ptopn2 23310
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
ptopn2.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
ptopn2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘Œ, 𝑂, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝑂(π‘˜)
Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 ptopn2.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
3 snfi 9048 . . 3 {π‘Œ} ∈ Fin
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} ∈ Fin)
5 ptopn2.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘Œ))
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘Œ))
7 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘Œ))
87eleq2d 2817 . . . . 5 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘Œ)))
96, 8syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ = π‘Œ β†’ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)))
109imp 405 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ = π‘Œ) β†’ 𝑂 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
112ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top)
12 eqid 2730 . . . . . 6 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
1312topopn 22630 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
1514adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘˜ = π‘Œ) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
1610, 15ifclda 4564 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ = π‘Œ, 𝑂, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
17 eldifn 4128 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {π‘Œ})
18 velsn 4645 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {π‘Œ} ↔ π‘˜ = π‘Œ)
1917, 18sylnib 327 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘˜ = π‘Œ)
2019iffalsed 4540 . . 3 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Œ}) β†’ if(π‘˜ = π‘Œ, 𝑂, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2120adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Œ})) β†’ if(π‘˜ = π‘Œ, 𝑂, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
221, 2, 4, 16, 21ptopn 23309 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘Œ, 𝑂, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Xcixp 8895  Fincfn 8943  βˆtcpt 17390  Topctop 22617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-ixp 8896  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-top 22618  df-bases 22671
This theorem is referenced by:  ptcld  23339
  Copyright terms: Public domain W3C validator