Theorem ptopn2 23792

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ptopn2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ptopn2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Top)
3		snfi 9047	. . 3 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5		ptopn2.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌))
7		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑌)))
9	6, 8	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑌 → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘)))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹‘𝑘))
11	2	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
13	12	topopn 23113	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
16	10, 15	ifclda 4525	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐹‘𝑘))
17		eldifn 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18		velsn 4607	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
19	17, 18	sylnib 331	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
20	19	iffalsed 4500	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) = ∪ (𝐹‘𝑘))
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 23791	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, ∪ (𝐹‘𝑘)) ∈ (∏t‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591  ∪ cuni 4874  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Xcixp 8901  Fincfn 8949  ∏_tcpt 17513  Topctop 23100

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-2o 8460  df-ixp 8902  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-top 23101  df-bases 23153

This theorem is used by:  ptcld  23821