MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxpabs 10206
Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpabs (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpabs
StepHypRef Expression
1 infxpdom 10205 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
213expa 1115 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
32adantrl 713 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
4 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
5 numdom 10032 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
65ad2ant2rl 746 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7 simprl 768 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
8 xpdom3 9069 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
94, 6, 7, 8syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10 sbth 9092 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
113, 9, 10syl2anc 583 1 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wne 2934  c0 4317   class class class wbr 5141   × cxp 5667  dom cdm 5669  ωcom 7851  cen 8935  cdom 8936  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-card 9933
This theorem is referenced by:  infxp  10209  infmap2  10212
  Copyright terms: Public domain W3C validator