MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxpabs 9480
Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpabs (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpabs
StepHypRef Expression
1 infxpdom 9479 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
213expa 1111 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
32adantrl 712 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
4 simpll 763 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
5 numdom 9310 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
65ad2ant2rl 745 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7 simprl 767 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
8 xpdom3 8462 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
94, 6, 7, 8syl3anc 1364 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10 sbth 8484 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
113, 9, 10syl2anc 584 1 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2081  wne 2984  c0 4211   class class class wbr 4962   × cxp 5441  dom cdm 5443  ωcom 7436  cen 8354  cdom 8355  cardccrd 9210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-oi 8820  df-card 9214
This theorem is referenced by:  infxp  9483  infmap2  9486
  Copyright terms: Public domain W3C validator