Theorem infxpabs 10328

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxpabs	⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpdom 10327	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
2	1	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
3	2	adantrl 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
4		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
5		numdom 10156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
6	5	ad2ant2rl 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
8		xpdom3 9132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10		sbth 9154	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
11	3, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   × cxp 5656  dom cdm 5658  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-oi 9541  df-card 10057

This theorem is used by:  infxp  10331  infmap2  10334  jltalephlem  36066