Theorem ensymd 9015

Description: Symmetry of equinumerosity. Deduction form of ensym 9013. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensymd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ensymd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		ensym 9013	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 5107   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8700  df-en 8957

This theorem is used by:  f1imaeng  9024  f1imaen2g  9025  xpdom3  9077  omxpen  9081  mapdom2  9150  mapdom3  9151  limensuci  9155  unxpdom2  9234  sucxpdom  9235  marypha1lem  9407  infdifsn  9640  cnfcom2lem  9684  karden  9902  cardidm  9968  cardnueq0  9973  carden2a  9975  card1  9977  cardsdomel  9983  isinffi  10001  en2eqpr  10014  infxpenlem  10020  infxpidm2  10024  alephnbtwn2  10079  alephsucdom  10086  mappwen  10119  finnisoeu  10120  djuen  10176  dju1en  10178  djuassen  10185  xpdjuen  10186  infdju1  10196  pwdju1  10197  onadju  10200  cardadju  10201  djunum  10202  nnadju  10204  ficardadju  10206  ficardun  10207  pwsdompw  10209  infdif2  10215  infxp  10220  ackbij1lem5  10229  cfss  10271  ominf4  10318  isfin4p1  10321  fin23lem27  10334  alephsuc3  10593  canthp1lem1  10665  canthp1lem2  10666  gchdju1  10669  gchinf  10670  pwfseqlem5  10676  pwdjundom  10680  gchdjuidm  10681  gchxpidm  10682  gchhar  10692  inttsk  10787  tskcard  10794  r1tskina  10795  tskuni  10796  hashkf  14400  hashpss  14478  fz1isolem  14530  isercolllem2  15757  summolem2  15806  zsum  15808  prodmolem2  16028  zprod  16030  4sqlem11  17053  mreexexd  17742  psgnunilem1  19626  simpgnsgd  20235  frlmisfrlm  22067  frlmiscvec  22068  lindsdom  22069  matunitlindflem2  22908  ovoliunlem1  25736  rabfodom  32988  unidifsnel  33018  unidifsnne  33019  fnpreimac  33151  hashimaf1  33289  1enumen  35607  heicant  38412  mblfinlem1  38414  sticksstones18  43038  sticksstones19  43039  eldioph2lem1  43613  isnumbasgrplem3  43954  fiuneneq  44041  harval3  44386  enrelmap  44845  enmappw  44847