Theorem s1co 14896

Description: Mapping of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1co	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Proof of Theorem s1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14657	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2		0cn 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		xpsng 7142	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
4	2, 3	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
5	1, 4	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
7	6	coeq2d 5853	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
8		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑆) ∈ V
9		s1val 14657	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ V → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
11		c0ex 11218	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11, 8	xpsn 7144	. . . 4 ⊢ ({0} × {(𝐹‘𝑆)}) = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
13	10, 12	eqtr4i 2792	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = ({0} × {(𝐹‘𝑆)})
14		ffn 6712	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
15		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴)
16		fcoconst 7137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
17	14, 15, 16	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
18	13, 17	eqtr4id 2820	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
19	7, 18	eqtr4d 2804	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  {csn 4594  ⟨cop 4600   × cxp 5664   ∘ ccom 5670   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℂcc 11116  0cc0 11118  ⟨“cs1 14654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-mulcl 11180  ax-i2m1 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-s1 14655

This theorem is used by:  cats1co  14919  s2co  14983  frmdgsum  18952  frmdup2  18955  efginvrel2  19828  vrgpinv  19870  frgpup2  19877  ccatws1f1olast  33305  mrsubcv  36022