Theorem s1co 14786

Description: Mapping of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1co	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Proof of Theorem s1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14552	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2		0cn 11127	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		xpsng 7086	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
4	2, 3	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
5	1, 4	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
7	6	coeq2d 5811	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
8		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑆) ∈ V
9		s1val 14552	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ V → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
11		c0ex 11129	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11, 8	xpsn 7088	. . . 4 ⊢ ({0} × {(𝐹‘𝑆)}) = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
13	10, 12	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = ({0} × {(𝐹‘𝑆)})
14		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
15		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴)
16		fcoconst 7081	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
17	14, 15, 16	syl2anr 598	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
18	13, 17	eqtr4id 2791	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
19	7, 18	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5622   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  0cc0 11029  ⟨“cs1 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-s1 14550

This theorem is referenced by:  cats1co  14809  s2co  14873  frmdgsum  18821  frmdup2  18824  efginvrel2  19693  vrgpinv  19735  frgpup2  19742  ccatws1f1olast  33027  mrsubcv  35708