Theorem s1co 14988

Description: Mapping of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1co	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Proof of Theorem s1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14748	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2		0cn 11301	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		xpsng 7140	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
4	2, 3	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
5	1, 4	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
7	6	coeq2d 5839	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
8		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑆) ∈ V
9		s1val 14748	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ V → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
11		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11, 8	xpsn 7141	. . . 4 ⊢ ({0} × {(𝐹‘𝑆)}) = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
13	10, 12	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = ({0} × {(𝐹‘𝑆)})
14		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
15		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴)
16		fcoconst 7135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
17	14, 15, 16	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
18	13, 17	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
19	7, 18	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5648   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℂcc 11201  0cc0 11203  ⟨“cs1 14745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-mulcl 11265  ax-i2m1 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-s1 14746

This theorem is used by:  cats1co  15011  s2co  15076  frmdgsum  19063  frmdup2  19066  efginvrel2  19946  vrgpinv  19988  frgpup2  19995  ccatws1f1olast  33561  mrsubcv  36361