Theorem s1co 14756

Description: Mapping of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1co	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Proof of Theorem s1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14522	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2		0cn 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		xpsng 7084	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ({0} × {𝑆}) = {⟨0, 𝑆⟩})
5	1, 4	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“𝑆”⟩ = ({0} × {𝑆}))
7	6	coeq2d 5811	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
8		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑆) ∈ V
9		s1val 14522	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ V → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
11		c0ex 11126	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11, 8	xpsn 7086	. . . 4 ⊢ ({0} × {(𝐹‘𝑆)}) = {⟨0, (𝐹‘𝑆)⟩}
13	10, 12	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = ({0} × {(𝐹‘𝑆)})
14		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
15		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴)
16		fcoconst 7079	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
17	14, 15, 16	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})) = ({0} × {(𝐹‘𝑆)}))
18	13, 17	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩ = (𝐹 ∘ ({0} × {𝑆})))
19	7, 18	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑆”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑆)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586   × cxp 5622   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  0cc0 11026  ⟨“cs1 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-s1 14520

This theorem is referenced by:  cats1co  14779  s2co  14843  frmdgsum  18787  frmdup2  18790  efginvrel2  19656  vrgpinv  19698  frgpup2  19705  ccatws1f1olast  33034  mrsubcv  35704