MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpar Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fpar 8102
Description: Merge two functions in parallel. Use as the second argument of a composition with a binary operation to build compound functions such as (π‘₯ ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βˆšβ€˜π‘₯) + (sinβ€˜π‘¦))), see also ex-fpar 29715. (Contributed by NM, 17-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fpar.1 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
Assertion
Ref Expression
fpar ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem fpar
StepHypRef Expression
1 fparlem3 8100 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)))
2 fparlem4 8101 . . 3 (𝐺 Fn 𝐡 β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})))
31, 2ineqan12d 4215 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V))))) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))))
4 fpar.1 . 2 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
5 opex 5465 . . . 4 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩ ∈ V
65dfmpo 8088 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩}
7 inxp 5833 . . . . . . . 8 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = ((({π‘₯} Γ— V) ∩ (V Γ— {𝑦})) Γ— (({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V) ∩ (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})))
8 inxp 5833 . . . . . . . . . 10 (({π‘₯} Γ— V) ∩ (V Γ— {𝑦})) = (({π‘₯} ∩ V) Γ— (V ∩ {𝑦}))
9 inv1 4395 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯} ∩ V) = {π‘₯}
10 incom 4202 . . . . . . . . . . . 12 (V ∩ {𝑦}) = ({𝑦} ∩ V)
11 inv1 4395 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑦} ∩ V) = {𝑦}
1210, 11eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (V ∩ {𝑦}) = {𝑦}
139, 12xpeq12i 5705 . . . . . . . . . 10 (({π‘₯} ∩ V) Γ— (V ∩ {𝑦})) = ({π‘₯} Γ— {𝑦})
14 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
15 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1614, 15xpsn 7139 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯} Γ— {𝑦}) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ©}
178, 13, 163eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (({π‘₯} Γ— V) ∩ (V Γ— {𝑦})) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ©}
18 inxp 5833 . . . . . . . . . 10 (({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V) ∩ (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})) = (({(πΉβ€˜π‘₯)} ∩ V) Γ— (V ∩ {(πΊβ€˜π‘¦)}))
19 inv1 4395 . . . . . . . . . . 11 ({(πΉβ€˜π‘₯)} ∩ V) = {(πΉβ€˜π‘₯)}
20 incom 4202 . . . . . . . . . . . 12 (V ∩ {(πΊβ€˜π‘¦)}) = ({(πΊβ€˜π‘¦)} ∩ V)
21 inv1 4395 . . . . . . . . . . . 12 ({(πΊβ€˜π‘¦)} ∩ V) = {(πΊβ€˜π‘¦)}
2220, 21eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (V ∩ {(πΊβ€˜π‘¦)}) = {(πΊβ€˜π‘¦)}
2319, 22xpeq12i 5705 . . . . . . . . . 10 (({(πΉβ€˜π‘₯)} ∩ V) Γ— (V ∩ {(πΊβ€˜π‘¦)})) = ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})
24 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
25 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
2624, 25xpsn 7139 . . . . . . . . . 10 ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}) = {⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩}
2718, 23, 263eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V) ∩ (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})) = {⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩}
2817, 27xpeq12i 5705 . . . . . . . 8 ((({π‘₯} Γ— V) ∩ (V Γ— {𝑦})) Γ— (({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V) ∩ (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ©} Γ— {⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩})
29 opex 5465 . . . . . . . . 9 ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ V
3029, 5xpsn 7139 . . . . . . . 8 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ©} Γ— {⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩}) = {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩}
317, 28, 303eqtri 2765 . . . . . . 7 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩}
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩})
3332iuneq2i 5019 . . . . 5 βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩}
3433a1i 11 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩})
3534iuneq2i 5019 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩⟩}
36 2iunin 5080 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)}))) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})))
376, 35, 363eqtr2i 2767 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (({π‘₯} Γ— V) Γ— ({(πΉβ€˜π‘₯)} Γ— V)) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ((V Γ— {𝑦}) Γ— (V Γ— {(πΊβ€˜π‘¦)})))
383, 4, 373eqtr4g 2798 1 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544   ∈ cmpo 7411  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976
This theorem is referenced by:  fsplitfpar  8104  ex-fpar  29715
  Copyright terms: Public domain W3C validator