Theorem mapsnconst 8837

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		snex 5375	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	elmap 8816	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
4		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
5	4	fsn2 7085	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 498	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7		mapsncnv.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
8	7	xpeq1i 5651	. . . . 5 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
9		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
10	4, 9	xpsn 7090	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}
11	8, 10	eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)})
12	6, 11	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
13	3, 12	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑋}) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
14	7	oveq2i 7374	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m 𝑆) = (𝐵 ↑m {𝑋})
15	13, 14	eleq2s 2858	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  {csn 4562  ⟨cop 4568   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772

This theorem is referenced by:  mapsncnv  8838  fvcoe1  22199  coe1mul2lem1  22260  coe1mul2  22262  0prjspnrel  43084