Theorem mapsnconst 8904

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	elmap 8883	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
4		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
5	4	fsn2 7129	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7		mapsncnv.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
8	7	xpeq1i 5677	. . . . 5 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
9		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
10	4, 9	xpsn 7133	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}
11	8, 10	eqtr2i 2785	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)})
12	6, 11	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
13	3, 12	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑋}) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
14	7	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m 𝑆) = (𝐵 ↑m {𝑋})
15	13, 14	eleq2s 2879	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833

This theorem is used by:  mapsncnv  8905  fvcoe1  22505  coe1mul2lem1  22566  coe1mul2  22568  0prjspnrel  43617