Theorem dib0 42189

Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dib0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dib0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dib0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6890	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
2		resiexg 7913	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V
4		fvex 6890	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
5	4	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
6	3, 5	xpsn 7133	. 2 ⊢ ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}) = {⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}
7		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		hlop 40387	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		dib0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
12	10, 11	op0cl 40209	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
14		dib0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15	10, 14	lhpbase 41023	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17	10, 16, 11	op0le 40211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
18	8, 15, 17	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
21		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22		dib0.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
23	10, 16, 14, 19, 20, 21, 22	dibval2 42169	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
24	7, 13, 18, 23	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
25	10, 11, 14, 21	dia0 42077	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {( I ↾ (Base‘𝐾))})
26	25	xpeq1d 5680	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}) = ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
27	24, 26	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
28		dib0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
29		dib0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
30	10, 14, 19, 28, 29, 20	dvh0g 42136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
31	30	sneqd 4596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑂} = {⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})
32	6, 27, 31	3eqtr4a 2822	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  0_gc0g 17590  0.cp0 18575  OPcops 40197  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  DIsoAcdia 42053  DVecHcdvh 42103  DIsoBcdib 42163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lvec 21358  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164

This theorem is used by:  dihvalcqat  42264  dih0  42305