Theorem dib0 40351

Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dib0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dib0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Proof of Theorem dib0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
2		resiexg 7909	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V
4		fvex 6904	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
5	4	mptex 7227	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
6	3, 5	xpsn 7141	. 2 ⊢ ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}) = {⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}
7		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		hlop 38548	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		dib0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
12	10, 11	op0cl 38370	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
14		dib0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15	10, 14	lhpbase 39185	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17	10, 16, 11	op0le 38372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
18	8, 15, 17	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22		dib0.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
23	10, 16, 14, 19, 20, 21, 22	dibval2 40331	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
24	7, 13, 18, 23	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
25	10, 11, 14, 21	dia0 40239	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) = {( I ↾ (Base‘𝐾))})
26	25	xpeq1d 5705	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘ 0 ) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}) = ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
27	24, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = ({( I ↾ (Base‘𝐾))} × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
28		dib0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
29		dib0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑈)
30	10, 14, 19, 28, 29, 20	dvh0g 40298	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
31	30	sneqd 4640	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑂} = {⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})
32	6, 27, 31	3eqtr4a 2797	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑂})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  0_gc0g 17392  0.cp0 18383  OPcops 38358  HLchlt 38536  LHypclh 39171  LTrncltrn 39288  DIsoAcdia 40215  DVecHcdvh 40265  DIsoBcdib 40325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38139

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18255  df-poset 18273  df-plt 18290  df-lub 18306  df-glb 18307  df-join 18308  df-meet 18309  df-p0 18385  df-p1 18386  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-dvr 20296  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lvec 20862  df-oposet 38362  df-ol 38364  df-oml 38365  df-covers 38452  df-ats 38453  df-atl 38484  df-cvlat 38508  df-hlat 38537  df-llines 38685  df-lplanes 38686  df-lvols 38687  df-lines 38688  df-psubsp 38690  df-pmap 38691  df-padd 38983  df-lhyp 39175  df-laut 39176  df-ldil 39291  df-ltrn 39292  df-trl 39346  df-tendo 39942  df-edring 39944  df-disoa 40216  df-dvech 40266  df-dib 40326

This theorem is referenced by:  dihvalcqat  40426  dih0  40467