Theorem ex-xp 30465

Description: Example for df-xp 5695. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4634	. . 3 ⊢ {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2		df-pr 4634	. . 3 ⊢ {2, 7} = ({2} ∪ {7})
3	1, 2	xpeq12i 5717	. 2 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4		xpun 5762	. 2 ⊢ (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5		1ex 11255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
6		2nn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	elexi 3501	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7161	. . . . 5 ⊢ ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9		7nn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
10	9	elexi 3501	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
11	5, 10	xpsn 7161	. . . . 5 ⊢ ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
12	8, 11	uneq12i 4176	. . . 4 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13		df-pr 4634	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
14	12, 13	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15		5nn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	elexi 3501	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
17	16, 7	xpsn 7161	. . . . 5 ⊢ ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
18	16, 10	xpsn 7161	. . . . 5 ⊢ ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
19	17, 18	uneq12i 4176	. . . 4 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20		df-pr 4634	. . . 4 ⊢ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
21	19, 20	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
22	14, 21	uneq12i 4176	. 2 ⊢ ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
23	3, 4, 22	3eqtri 2767	1 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Syntax hints:   = wceq 1537   ∪ cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  ⟨cop 4637   × cxp 5687  1c1 11154  ℕcn 12264  2c2 12319  5c5 12322  7c7 12324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332

This theorem is referenced by: (None)