MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-xp 29422
Description: Example for df-xp 5644. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 4594 . . 3 {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2 df-pr 4594 . . 3 {2, 7} = ({2} ∪ {7})
31, 2xpeq12i 5666 . 2 ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4 xpun 5710 . 2 (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5 1ex 11158 . . . . . 6 1 ∈ V
6 2nn 12233 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
76elexi 3467 . . . . . 6 2 ∈ V
85, 7xpsn 7092 . . . . 5 ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9 7nn 12252 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
109elexi 3467 . . . . . 6 7 ∈ V
115, 10xpsn 7092 . . . . 5 ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
128, 11uneq12i 4126 . . . 4 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13 df-pr 4594 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
1412, 13eqtr4i 2768 . . 3 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15 5nn 12246 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
1615elexi 3467 . . . . . 6 5 ∈ V
1716, 7xpsn 7092 . . . . 5 ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
1816, 10xpsn 7092 . . . . 5 ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
1917, 18uneq12i 4126 . . . 4 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20 df-pr 4594 . . . 4 {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
2119, 20eqtr4i 2768 . . 3 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
2214, 21uneq12i 4126 . 2 ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
233, 4, 223eqtri 2769 1 ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cun 3913  {csn 4591  {cpr 4593  cop 4597   × cxp 5636  1c1 11059  cn 12160  2c2 12215  5c5 12218  7c7 12220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator