Theorem ex-xp 31070

Description: Example for df-xp 5662. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. . 3 ⊢ {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2		df-pr 4591	. . 3 ⊢ {2, 7} = ({2} ∪ {7})
3	1, 2	xpeq12i 5684	. 2 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4		xpun 5730	. 2 ⊢ (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5		1ex 11333	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
6		2nn 12446	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7168	. . . . 5 ⊢ ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9		7nn 12465	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
10	9	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
11	5, 10	xpsn 7168	. . . . 5 ⊢ ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
12	8, 11	uneq12i 4168	. . . 4 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
14	12, 13	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15		5nn 12459	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
17	16, 7	xpsn 7168	. . . . 5 ⊢ ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
18	16, 10	xpsn 7168	. . . . 5 ⊢ ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
19	17, 18	uneq12i 4168	. . . 4 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
21	19, 20	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
22	14, 21	uneq12i 4168	. 2 ⊢ ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
23	3, 4, 22	3eqtri 2790	1 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   × cxp 5654  1c1 11231  ℕcn 12365  2c2 12427  5c5 12430  7c7 12432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-1cn 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440

This theorem is used by: (None)