Theorem ex-xp 28800

Description: Example for df-xp 5595. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4564	. . 3 ⊢ {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2		df-pr 4564	. . 3 ⊢ {2, 7} = ({2} ∪ {7})
3	1, 2	xpeq12i 5617	. 2 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4		xpun 5660	. 2 ⊢ (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5		1ex 10971	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
6		2nn 12046	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	elexi 3451	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7013	. . . . 5 ⊢ ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9		7nn 12065	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
10	9	elexi 3451	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
11	5, 10	xpsn 7013	. . . . 5 ⊢ ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
12	8, 11	uneq12i 4095	. . . 4 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13		df-pr 4564	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
14	12, 13	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15		5nn 12059	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	elexi 3451	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
17	16, 7	xpsn 7013	. . . . 5 ⊢ ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
18	16, 10	xpsn 7013	. . . . 5 ⊢ ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
19	17, 18	uneq12i 4095	. . . 4 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20		df-pr 4564	. . . 4 ⊢ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
21	19, 20	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
22	14, 21	uneq12i 4095	. 2 ⊢ ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
23	3, 4, 22	3eqtri 2770	1 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∪ cun 3885  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   × cxp 5587  1c1 10872  ℕcn 11973  2c2 12028  5c5 12031  7c7 12033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041

This theorem is referenced by: (None)