Theorem ex-xp 28701

Description: Example for df-xp 5586. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4561	. . 3 ⊢ {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2		df-pr 4561	. . 3 ⊢ {2, 7} = ({2} ∪ {7})
3	1, 2	xpeq12i 5608	. 2 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4		xpun 5651	. 2 ⊢ (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5		1ex 10902	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
6		2nn 11976	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	elexi 3441	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
8	5, 7	xpsn 6995	. . . . 5 ⊢ ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9		7nn 11995	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
10	9	elexi 3441	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
11	5, 10	xpsn 6995	. . . . 5 ⊢ ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
12	8, 11	uneq12i 4091	. . . 4 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13		df-pr 4561	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
14	12, 13	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15		5nn 11989	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	elexi 3441	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
17	16, 7	xpsn 6995	. . . . 5 ⊢ ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
18	16, 10	xpsn 6995	. . . . 5 ⊢ ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
19	17, 18	uneq12i 4091	. . . 4 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20		df-pr 4561	. . . 4 ⊢ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
21	19, 20	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
22	14, 21	uneq12i 4091	. 2 ⊢ ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
23	3, 4, 22	3eqtri 2770	1 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∪ cun 3881  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   × cxp 5578  1c1 10803  ℕcn 11903  2c2 11958  5c5 11961  7c7 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971

This theorem is referenced by: (None)