Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-xp 28224
 Description: Example for df-xp 5548. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 4553 . . 3 {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2 df-pr 4553 . . 3 {2, 7} = ({2} ∪ {7})
31, 2xpeq12i 5570 . 2 ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4 xpun 5612 . 2 (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5 1ex 10635 . . . . . 6 1 ∈ V
6 2nn 11707 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
76elexi 3499 . . . . . 6 2 ∈ V
85, 7xpsn 6894 . . . . 5 ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9 7nn 11726 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
109elexi 3499 . . . . . 6 7 ∈ V
115, 10xpsn 6894 . . . . 5 ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
128, 11uneq12i 4123 . . . 4 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13 df-pr 4553 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
1412, 13eqtr4i 2850 . . 3 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15 5nn 11720 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
1615elexi 3499 . . . . . 6 5 ∈ V
1716, 7xpsn 6894 . . . . 5 ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
1816, 10xpsn 6894 . . . . 5 ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
1917, 18uneq12i 4123 . . . 4 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20 df-pr 4553 . . . 4 {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
2119, 20eqtr4i 2850 . . 3 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
2214, 21uneq12i 4123 . 2 ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
233, 4, 223eqtri 2851 1 ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∪ cun 3917  {csn 4550  {cpr 4552  ⟨cop 4556   × cxp 5540  1c1 10536  ℕcn 11634  2c2 11689  5c5 11692  7c7 11694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-1cn 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator