Theorem ex-xp 30456

Description: Example for df-xp 5690. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4628	. . 3 ⊢ {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2		df-pr 4628	. . 3 ⊢ {2, 7} = ({2} ∪ {7})
3	1, 2	xpeq12i 5712	. 2 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4		xpun 5758	. 2 ⊢ (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5		1ex 11258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
6		2nn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	elexi 3502	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7160	. . . . 5 ⊢ ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9		7nn 12359	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
10	9	elexi 3502	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
11	5, 10	xpsn 7160	. . . . 5 ⊢ ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
12	8, 11	uneq12i 4165	. . . 4 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13		df-pr 4628	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
14	12, 13	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15		5nn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	elexi 3502	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
17	16, 7	xpsn 7160	. . . . 5 ⊢ ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
18	16, 10	xpsn 7160	. . . . 5 ⊢ ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
19	17, 18	uneq12i 4165	. . . 4 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20		df-pr 4628	. . . 4 ⊢ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
21	19, 20	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
22	14, 21	uneq12i 4165	. 2 ⊢ ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
23	3, 4, 22	3eqtri 2768	1 ⊢ ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∪ cun 3948  {csn 4625  {cpr 4627  ⟨cop 4631   × cxp 5682  1c1 11157  ℕcn 12267  2c2 12322  5c5 12325  7c7 12327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-1cn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335

This theorem is referenced by: (None)