Theorem mat1f1o 22600

Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1f1o	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
3		mat1rhmval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
4		opex 5443	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2865	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
6	2, 5	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7135	. . . . . 6 ⊢ ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
9	8	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
10	9	mpteq2i 5208	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
11	10	mapsnf1o 8933	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
12	6, 11	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
13		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	3	sneqi 4602	. . . . . . 7 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
19		xpsng 7133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	18, 19	sylancom 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
21	17, 20	eqtr4id 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
22	21	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
23		snfi 9036	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
24		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25		mat1rhmval.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
26	25, 1	matbas2 22543	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
27	23, 24, 26	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
28	22, 27	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29	16, 28	eqtr4id 2823	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑂}))
30	14, 15, 29	f1oeq123d 6812	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂})))
31	12, 30	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4591  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17265  Ringcrg 20311   Mat cmat 22529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-pws 17498  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-mat 22530

This theorem is referenced by:  mat1f  22604  mat1rngiso  22608