Theorem mat1f1o 22388

Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1f1o	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
3		mat1rhmval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
4		opex 5399	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2827	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7069	. . . . . 6 ⊢ ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
9	8	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
10	9	mpteq2i 5182	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
11	10	mapsnf1o 8858	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
12	6, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
13		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	3	sneqi 4582	. . . . . . 7 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
19		xpsng 7067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	18, 19	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
21	17, 20	eqtr4id 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
22	21	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
23		snfi 8960	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25		mat1rhmval.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
26	25, 1	matbas2 22331	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
27	23, 24, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
28	22, 27	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29	16, 28	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑂}))
30	14, 15, 29	f1oeq123d 6752	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂})))
31	12, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4571  ⟨cop 4577   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  Basecbs 17115  Ringcrg 20146   Mat cmat 22317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-pws 17348  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-mat 22318

This theorem is referenced by:  mat1f  22392  mat1rngiso  22396