MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1f1o 22400
Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1f1o ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6916 . . . 4 𝐾 ∈ V
3 mat1rhmval.o . . . . 5 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
4 opex 5470 . . . . 5 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
53, 4eqeltri 2825 . . . 4 𝑂 ∈ V
62, 5pm3.2i 469 . . 3 (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7 vex 3477 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
85, 7xpsn 7156 . . . . . 6 ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
98eqcomi 2737 . . . . 5 {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
109mpteq2i 5257 . . . 4 (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
1110mapsnf1o 8964 . . 3 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂}))
126, 11mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂}))
13 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1413a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15 eqidd 2729 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
173sneqi 4643 . . . . . . 7 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
19 xpsng 7154 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2018, 19sylancom 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2117, 20eqtr4id 2787 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
2221oveq2d 7442 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m {𝑂}) = (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})))
23 snfi 9075 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
24 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25 mat1rhmval.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
2625, 1matbas2 22343 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2723, 24, 26sylancr 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2822, 27eqtrd 2768 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
2916, 28eqtr4id 2787 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐵 = (𝐾m {𝑂}))
3014, 15, 29f1oeq123d 6838 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂})))
3112, 30mpbird 256 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  cop 4638  cmpt 5235   × cxp 5680  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  Ringcrg 20180   Mat cmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22328
This theorem is referenced by:  mat1f  22404  mat1rngiso  22408
  Copyright terms: Public domain W3C validator