Theorem mat1f1o 22330

Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1f1o	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6898	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
3		mat1rhmval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
4		opex 5457	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7		vex 3472	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7134	. . . . . 6 ⊢ ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
9	8	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
10	9	mpteq2i 5246	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
11	10	mapsnf1o 8932	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
12	6, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
13		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15		eqidd 2727	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	3	sneqi 4634	. . . . . . 7 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
19		xpsng 7132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	18, 19	sylancom 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
21	17, 20	eqtr4id 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
22	21	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
23		snfi 9043	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25		mat1rhmval.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
26	25, 1	matbas2 22273	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
27	23, 24, 26	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
28	22, 27	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29	16, 28	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑂}))
30	14, 15, 29	f1oeq123d 6820	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂})))
31	12, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17150  Ringcrg 20135   Mat cmat 22257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mat 22258

This theorem is referenced by:  mat1f  22334  mat1rngiso  22338