MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1f1o 21380
Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1f1o ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6736 . . . 4 𝐾 ∈ V
3 mat1rhmval.o . . . . 5 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
4 opex 5353 . . . . 5 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
53, 4eqeltri 2834 . . . 4 𝑂 ∈ V
62, 5pm3.2i 474 . . 3 (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7 vex 3417 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
85, 7xpsn 6961 . . . . . 6 ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
98eqcomi 2746 . . . . 5 {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
109mpteq2i 5152 . . . 4 (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
1110mapsnf1o 8625 . . 3 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂}))
126, 11mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂}))
13 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1413a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15 eqidd 2738 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
173sneqi 4557 . . . . . . 7 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
19 xpsng 6959 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2018, 19sylancom 591 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2117, 20eqtr4id 2797 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
2221oveq2d 7234 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m {𝑂}) = (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})))
23 snfi 8726 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
24 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25 mat1rhmval.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
2625, 1matbas2 21323 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2723, 24, 26sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2822, 27eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
2916, 28eqtr4id 2797 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐵 = (𝐾m {𝑂}))
3014, 15, 29f1oeq123d 6660 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾m {𝑂})))
3112, 30mpbird 260 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3413  {csn 4546  cop 4552  cmpt 5140   × cxp 5554  1-1-ontowf1o 6384  cfv 6385  (class class class)co 7218  m cmap 8513  Fincfn 8631  Basecbs 16765  Ringcrg 19567   Mat cmat 21309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-ot 4555  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-supp 7909  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-map 8515  df-ixp 8584  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-fsupp 8991  df-sup 9063  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-dec 12299  df-uz 12444  df-fz 13101  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-ip 16825  df-tset 16826  df-ple 16827  df-ds 16829  df-hom 16831  df-cco 16832  df-0g 16951  df-prds 16957  df-pws 16959  df-sra 20214  df-rgmod 20215  df-dsmm 20699  df-frlm 20714  df-mat 21310
This theorem is referenced by:  mat1f  21384  mat1rngiso  21388
  Copyright terms: Public domain W3C validator