Theorem mat1f1o 22505

Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1f1o	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
3		mat1rhmval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
4		opex 5484	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7175	. . . . . 6 ⊢ ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
9	8	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
10	9	mpteq2i 5271	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
11	10	mapsnf1o 8997	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
12	6, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
13		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	3	sneqi 4659	. . . . . . 7 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
19		xpsng 7173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	18, 19	sylancom 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
21	17, 20	eqtr4id 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
22	21	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
23		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25		mat1rhmval.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
26	25, 1	matbas2 22448	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
27	23, 24, 26	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
28	22, 27	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29	16, 28	eqtr4id 2799	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑂}))
30	14, 15, 29	f1oeq123d 6856	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂})))
31	12, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  Basecbs 17258  Ringcrg 20260   Mat cmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mat 22433

This theorem is referenced by:  mat1f  22509  mat1rngiso  22513