Theorem mat1f1o 22664

Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1f1o	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
3		mat1rhmval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
4		opex 5447	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
6	2, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
7		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	5, 7	xpsn 7141	. . . . . 6 ⊢ ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
9	8	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
10	9	mpteq2i 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
11	10	mapsnf1o 8939	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
12	6, 11	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂}))
13		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
15		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
16		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	3	sneqi 4602	. . . . . . 7 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
19		xpsng 7139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	18, 19	sylancom 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
21	17, 20	eqtr4id 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
22	21	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
23		snfi 9043	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25		mat1rhmval.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
26	25, 1	matbas2 22607	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
27	23, 24, 26	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
28	22, 27	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29	16, 28	eqtr4id 2819	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑂}))
30	14, 15, 29	f1oeq123d 6818	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾–1-1-onto→(𝐾 ↑m {𝑂})))
31	12, 30	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17286  Ringcrg 20338   Mat cmat 22593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-prds 17517  df-pws 17519  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-mat 22594

This theorem is used by:  mat1f  22668  mat1rngiso  22672