New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dm0rn0 GIF version

Theorem dm0rn0 4921
 Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by set.mm contributors, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0 (dom A = ↔ ran A = )

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1543 . . . . . 6 (x ¬ y xAy ↔ ¬ xy xAy)
2 excom 1741 . . . . . 6 (xy xAyyx xAy)
31, 2xchbinx 301 . . . . 5 (x ¬ y xAy ↔ ¬ yx xAy)
4 alnex 1543 . . . . 5 (y ¬ x xAy ↔ ¬ yx xAy)
53, 4bitr4i 243 . . . 4 (x ¬ y xAyy ¬ x xAy)
6 noel 3554 . . . . . 6 ¬ x
76nbn 336 . . . . 5 y xAy ↔ (y xAyx ))
87albii 1566 . . . 4 (x ¬ y xAyx(y xAyx ))
9 noel 3554 . . . . . 6 ¬ y
109nbn 336 . . . . 5 x xAy ↔ (x xAyy ))
1110albii 1566 . . . 4 (y ¬ x xAyy(x xAyy ))
125, 8, 113bitr3i 266 . . 3 (x(y xAyx ) ↔ y(x xAyy ))
13 abeq1 2459 . . 3 ({x y xAy} = x(y xAyx ))
14 abeq1 2459 . . 3 ({y x xAy} = y(x xAyy ))
1512, 13, 143bitr4i 268 . 2 ({x y xAy} = ↔ {y x xAy} = )
16 dfdm2 4900 . . 3 dom A = {x y xAy}
1716eqeq1i 2360 . 2 (dom A = ↔ {x y xAy} = )
18 dfrn2 4902 . . 3 ran A = {y x xAy}
1918eqeq1i 2360 . 2 (ran A = ↔ {y x xAy} = )
2015, 17, 193bitr4i 268 1 (dom A = ↔ ran A = )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∅c0 3550   class class class wbr 4639  dom cdm 4772  ran crn 4773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787 This theorem is referenced by:  rn0  4969  rneq0  4970  imadisj  5015  ndmima  5025  rnsnn0  5065  f00  5249  map0b  6024
 Copyright terms: Public domain W3C validator