Theorem dm0rn0 4922

Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by set.mm contributors, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1543	. . . . . 6 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ¬ ∃x∃y xAy)
2		excom 1741	. . . . . 6 ⊢ (∃x∃y xAy ↔ ∃y∃x xAy)
3	1, 2	xchbinx 301	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ¬ ∃y∃x xAy)
4		alnex 1543	. . . . 5 ⊢ (∀y ¬ ∃x xAy ↔ ¬ ∃y∃x xAy)
5	3, 4	bitr4i 243	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ∀y ¬ ∃x xAy)
6		noel 3555	. . . . . 6 ⊢ ¬ x ∈ ∅
7	6	nbn 336	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃y xAy ↔ (∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
8	7	albii 1566	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
9		noel 3555	. . . . . 6 ⊢ ¬ y ∈ ∅
10	9	nbn 336	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃x xAy ↔ (∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
11	10	albii 1566	. . . 4 ⊢ (∀y ¬ ∃x xAy ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
12	5, 8, 11	3bitr3i 266	. . 3 ⊢ (∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅) ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
13		abeq1 2460	. . 3 ⊢ ({x ∣ ∃y xAy} = ∅ ↔ ∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
14		abeq1 2460	. . 3 ⊢ ({y ∣ ∃x xAy} = ∅ ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
15	12, 13, 14	3bitr4i 268	. 2 ⊢ ({x ∣ ∃y xAy} = ∅ ↔ {y ∣ ∃x xAy} = ∅)
16		dfdm2 4901	. . 3 ⊢ dom A = {x ∣ ∃y xAy}
17	16	eqeq1i 2360	. 2 ⊢ (dom A = ∅ ↔ {x ∣ ∃y xAy} = ∅)
18		dfrn2 4903	. . 3 ⊢ ran A = {y ∣ ∃x xAy}
19	18	eqeq1i 2360	. 2 ⊢ (ran A = ∅ ↔ {y ∣ ∃x xAy} = ∅)
20	15, 17, 19	3bitr4i 268	1 ⊢ (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∅c0 3551   class class class wbr 4640  dom cdm 4773  ran crn 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788

This theorem is referenced by:  rn0  4970  rneq0  4971  imadisj  5016  ndmima  5026  rnsnn0  5066  f00  5250  map0b  6025