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Theorem addsin 11752
Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addsin |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) + ( sin ` B ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Proof of Theorem addsin
StepHypRef Expression
1 addcl 7938 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
21halfcld 9165 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. CC )
32sincld 11720 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
4 subcl 8158 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
54halfcld 9165 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) / 2 ) e. CC )
65coscld 11721 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
73, 6mulcld 7980 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
872timesd 9163 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
9 sinadd 11746 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
102, 5, 9syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
11 sinsub 11750 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
122, 5, 11syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
1310, 12oveq12d 5895 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
142coscld 11721 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
155sincld 11720 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
1614, 15mulcld 7980 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
177, 16, 7ppncand 8310 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
1813, 17eqtrd 2210 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 9155 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) )
2019simpld 112 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
2120fveq2d 5521 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( sin ` A ) )
2219simprd 114 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B )
2322fveq2d 5521 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( sin ` B ) )
2421, 23oveq12d 5895 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( sin ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` A ) + ( sin ` B ) ) )
258, 18, 243eqtr2rd 2217 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) + ( sin ` B ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   + caddc 7816   x. cmul 7818   - cmin 8130   / cdiv 8631   2c2 8972   sincsin 11654   cosccos 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660  df-cos 11661
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