Theorem m1expeven 10492

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	|- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = 1 )

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9187	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	2timesd 9090	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
3	2	oveq2d 5852	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = ( -u 1 ^ ( N + N ) ) )
4		neg1cn 8953	. . . 4 |- -u 1 e. CC
5		neg1ap0 8957	. . . 4 |- -u 1 # 0
6		expaddzap 10489	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
7	4, 5, 6	mpanl12 433	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
8	7	anidms 395	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
9		m1expcl2 10467	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
10		neg1rr 8954	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
11		reexpclzap 10465	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR /\ -u 1 # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
12	10, 5, 11	mp3an12 1316	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
13		elprg 3590	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) e. RR -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) ) )
15		oveq12 5845	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 /\ ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
16	15	anidms 395	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
17		neg1mulneg1e1 9060	. . . . . 6 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2213	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
19		oveq12 5845	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = 1 /\ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( 1 x. 1 ) )
20	19	anidms 395	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 ^ N ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( 1 x. 1 ) )
21		1t1e1 9000	. . . . . 6 |- ( 1 x. 1 ) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2213	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
23	18, 22	jaoi 706	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
24	14, 23	syl6bi 162	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 ) )
25	9, 24	mpd 13	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
26	3, 8, 25	3eqtrd 2201	1 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   {cpr 3571   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   CCcc 7742   RRcr 7743   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   x. cmul 7749   -ucneg 8061   # cap 8470   2c2 8899   ZZcz 9182   ^cexp 10444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-seqfrec 10371  df-exp 10445

This theorem is referenced by:  m1expe  11821  m1expo  11822  m1exp1  11823