Theorem sinadd 11677

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7878	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		sinval 11643	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
4		2cn 8928	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6		ax-icn 7848	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
8		coscl 11648	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
9	8	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
10		sincl 11647	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12	9, 11	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13		sincl 11647	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
14	13	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
15		coscl 11648	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
16	15	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
17	14, 16	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
18	12, 17	addcld 7918	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) e. CC )
19	5, 7, 18	mulassd 7922	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) )
20	7, 12, 17	adddid 7923	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) )
21	7, 9, 11	mul12d 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
22	14, 16	mulcomd 7920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
23	22	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
24	7, 16, 14	mul12d 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
25	23, 24	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
26	21, 25	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
27	20, 26	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
28	27	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
29	19, 28	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
30		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
31	6, 11, 30	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
32	9, 31	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
33		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
34	6, 14, 33	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
36	32, 35	addcld 7918	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
37		mulcl 7880	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
38	4, 36, 37	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
39		2mulicn 9079	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) e. CC
40	39	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) e. CC )
41		2muliap0 9081	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) # 0
42	41	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) # 0 )
43	38, 40, 18, 42	divmulapd 8708	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) <-> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
44	29, 43	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
45	9, 16	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
46	31, 34	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
47	45, 46	addcld 7918	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
48	47, 36, 36	pnncand 8248	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
49		adddi 7885	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
50	6, 49	mp3an1 1314	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
51	50	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
52		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
53		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
54	6, 52, 53	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
55		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
56		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
57	6, 55, 56	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
58		efadd 11616	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
59	54, 57, 58	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
60		efival 11673	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
61		efival 11673	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
62	60, 61	oveqan12d 5861	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
63	9, 34, 16, 31	muladdd 8314	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
64	62, 63	eqtrd 2198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
65	51, 59, 64	3eqtrd 2202	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
66		negicn 8099	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. CC
67		adddi 7885	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
68	66, 67	mp3an1 1314	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
69	68	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
70		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
71	66, 52, 70	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
72		mulcl 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
73	66, 55, 72	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
74		efadd 11616	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
76		efmival 11674	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
77		efmival 11674	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
78	76, 77	oveqan12d 5861	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 8315	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
80	78, 79	eqtrd 2198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
81	69, 75, 80	3eqtrd 2202	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
82	65, 81	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
83	36	2timesd 9099	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
85	84	oveq1d 5857	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
86	17, 12	addcomd 8049	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
88	3, 87	eqtrd 2198	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   -ucneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568   2c2 8908   expce 11583   sincsin 11585   cosccos 11586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592

This theorem is referenced by:  tanaddap  11680  sinsub  11681  addsin  11683  subsin  11684  sin2t  11690  demoivreALT  11714  sinppi  13378  sinhalfpip  13381