Theorem sinadd 12360

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8200	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		sinval 12326	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
4		2cn 9256	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6		ax-icn 8170	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
8		coscl 12331	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
10		sincl 12330	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12	9, 11	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13		sincl 12330	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
15		coscl 12331	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
17	14, 16	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
18	12, 17	addcld 8241	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) e. CC )
19	5, 7, 18	mulassd 8245	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) )
20	7, 12, 17	adddid 8246	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) )
21	7, 9, 11	mul12d 8373	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
22	14, 16	mulcomd 8243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
23	22	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
24	7, 16, 14	mul12d 8373	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
25	23, 24	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
26	21, 25	oveq12d 6046	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
27	20, 26	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
28	27	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
29	19, 28	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
30		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
31	6, 11, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
32	9, 31	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
33		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
34	6, 14, 33	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
36	32, 35	addcld 8241	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
37		mulcl 8202	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
38	4, 36, 37	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
39		2mulicn 9408	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) e. CC
40	39	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) e. CC )
41		2muliap0 9410	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) # 0
42	41	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) # 0 )
43	38, 40, 18, 42	divmulapd 9034	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) <-> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
44	29, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
45	9, 16	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
46	31, 34	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
47	45, 46	addcld 8241	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
48	47, 36, 36	pnncand 8571	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
49		adddi 8207	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
50	6, 49	mp3an1 1361	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
51	50	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
52		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
53		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
54	6, 52, 53	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
56		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
57	6, 55, 56	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
58		efadd 12299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
59	54, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
60		efival 12356	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
61		efival 12356	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
62	60, 61	oveqan12d 6047	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
63	9, 34, 16, 31	muladdd 8637	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
64	62, 63	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
65	51, 59, 64	3eqtrd 2268	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
66		negicn 8422	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. CC
67		adddi 8207	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
68	66, 67	mp3an1 1361	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
69	68	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
70		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
71	66, 52, 70	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
72		mulcl 8202	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
73	66, 55, 72	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
74		efadd 12299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
76		efmival 12357	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
77		efmival 12357	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
78	76, 77	oveqan12d 6047	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 8638	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
80	78, 79	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
81	69, 75, 80	3eqtrd 2268	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
82	65, 81	oveq12d 6046	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
83	36	2timesd 9429	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
85	84	oveq1d 6043	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
86	17, 12	addcomd 8372	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
88	3, 87	eqtrd 2264	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   _ici 8077   + caddc 8078   x. cmul 8080   - cmin 8392   -ucneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894   2c2 9236   expce 12266   sincsin 12268   cosccos 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275

This theorem is referenced by:  tanaddap  12363  sinsub  12364  addsin  12366  subsin  12367  sin2t  12373  demoivreALT  12398  sinppi  15611  sinhalfpip  15614