Theorem sinadd 11879

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7997	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		sinval 11845	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
4		2cn 9053	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
6		ax-icn 7967	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
8		coscl 11850	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
10		sincl 11849	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12	9, 11	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13		sincl 11849	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
15		coscl 11850	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
17	14, 16	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
18	12, 17	addcld 8039	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) e. CC )
19	5, 7, 18	mulassd 8043	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) )
20	7, 12, 17	adddid 8044	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) )
21	7, 9, 11	mul12d 8171	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
22	14, 16	mulcomd 8041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
23	22	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
24	7, 16, 14	mul12d 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( cos ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
25	23, 24	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
26	21, 25	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
27	20, 26	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
28	27	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( _i x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
29	19, 28	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
30		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
31	6, 11, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
32	9, 31	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
33		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
34	6, 14, 33	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
36	32, 35	addcld 8039	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
37		mulcl 7999	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
38	4, 36, 37	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) e. CC )
39		2mulicn 9204	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) e. CC
40	39	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) e. CC )
41		2muliap0 9206	. . . . . 6 |- ( 2 x. _i ) # 0
42	41	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. _i ) # 0 )
43	38, 40, 18, 42	divmulapd 8831	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) <-> ( ( 2 x. _i ) x. ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
44	29, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
45	9, 16	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
46	31, 34	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
47	45, 46	addcld 8039	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
48	47, 36, 36	pnncand 8369	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
49		adddi 8004	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
50	6, 49	mp3an1 1335	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
51	50	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
52		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
53		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
54	6, 52, 53	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
56		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
57	6, 55, 56	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
58		efadd 11818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
59	54, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
60		efival 11875	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
61		efival 11875	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
62	60, 61	oveqan12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
63	9, 34, 16, 31	muladdd 8435	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
64	62, 63	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
65	51, 59, 64	3eqtrd 2230	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
66		negicn 8220	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. CC
67		adddi 8004	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
68	66, 67	mp3an1 1335	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
69	68	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
70		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
71	66, 52, 70	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
72		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
73	66, 55, 72	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
74		efadd 11818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
76		efmival 11876	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
77		efmival 11876	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
78	76, 77	oveqan12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
79	9, 34, 16, 31	mulsubd 8436	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
80	78, 79	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
81	69, 75, 80	3eqtrd 2230	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
82	65, 81	oveq12d 5936	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) - ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
83	36	2timesd 9225	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
84	48, 82, 83	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
85	84	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
86	17, 12	addcomd 8170	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
87	44, 85, 86	3eqtr4d 2236	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) - ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
88	3, 87	eqtrd 2226	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` ( A + B ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   _ici 7874   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691   2c2 9033   expce 11785   sincsin 11787   cosccos 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794

This theorem is referenced by:  tanaddap  11882  sinsub  11883  addsin  11885  subsin  11886  sin2t  11892  demoivreALT  11917  sinppi  14952  sinhalfpip  14955