Theorem adddivflid 10467

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nn0z 9422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		znq 9775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
5	4	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
6	1, 5	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ))
7		flqbi2 10466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
9		nn0re 9334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10		nn0ge0 9350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		nnre 9073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
13		nngt0 9091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
16	15	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
17		divge0 8976	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
19	18	biantrurd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
20		nnrp 9815	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ+)
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
22	21	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
23		divlt1lt 9876	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  ℝcr 7954  0cc0 7955  1c1 7956   + caddc 7958   < clt 8137   ≤ cle 8138   / cdiv 8775  ℕcn 9066  ℕ₀cn0 9325  ℤcz 9402  ℚcq 9770  ℝ⁺crp 9805  ⌊cfl 10443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-q 9771  df-rp 9806  df-fl 10445

This theorem is referenced by:  2lgslem3a  15655  2lgslem3b  15656  2lgslem3c  15657  2lgslem3d  15658