Theorem adddivflid 10361

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nn0z 9337	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		znq 9689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
5	4	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
6	1, 5	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ))
7		flqbi2 10360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
9		nn0re 9249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10		nn0ge0 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		nnre 8989	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
13		nngt0 9007	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
16	15	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
17		divge0 8892	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
19	18	biantrurd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
20		nnrp 9729	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ+)
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
22	21	3adant1 1017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
23		divlt1lt 9790	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   ≤ cle 8055   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ℝ⁺crp 9719  ⌊cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by: (None)