Theorem adddivflid 10524

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nn0z 9477	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		znq 9831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
5	4	3adant1 1039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
6	1, 5	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ))
7		flqbi2 10523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
9		nn0re 9389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10		nn0ge0 9405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		nnre 9128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
13		nngt0 9146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
16	15	3adant1 1039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
17		divge0 9031	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
19	18	biantrurd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
20		nnrp 9871	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ+)
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
22	21	3adant1 1039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
23		divlt1lt 9932	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   ≤ cle 8193   / cdiv 8830  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ℚcq 9826  ℝ⁺crp 9861  ⌊cfl 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-q 9827  df-rp 9862  df-fl 10502

This theorem is referenced by:  2lgslem3a  15787  2lgslem3b  15788  2lgslem3c  15789  2lgslem3d  15790