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Theorem addnqprllem 7525
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2 ltrnqi 7419 . . . . . 6 (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q𝑆) <Q (*Q𝑋))
3 ltrelnq 7363 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
43brel 4678 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋Q𝑆Q))
54adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋Q𝑆Q))
65simprd 114 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆Q)
7 recclnq 7390 . . . . . . . . 9 (𝑆Q → (*Q𝑆) ∈ Q)
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑆) ∈ Q)
9 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋Q)
10 recclnq 7390 . . . . . . . . 9 (𝑋Q → (*Q𝑋) ∈ Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑋) ∈ Q)
12 ltmnqg 7399 . . . . . . . 8 (((*Q𝑆) ∈ Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q𝑋Q) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
138, 11, 9, 12syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
14 ltmnqg 7399 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q𝑤Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
1514adantl 277 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦Q𝑧Q𝑤Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16 mulclnq 7374 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
179, 8, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
18 mulclnq 7374 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
199, 11, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
20 elprnql 7479 . . . . . . . . 9 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) → 𝐺Q)
2120ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺Q)
22 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2322adantl 277 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦Q𝑧Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6043 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
2513, 24bitrd 188 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
262, 25imbitrid 154 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
271, 26mpd 13 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺))
28 recidnq 7391 . . . . . . . 8 (𝑋Q → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) = 1Q)
2928oveq1d 5889 . . . . . . 7 (𝑋Q → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30 1nq 7364 . . . . . . . . 9 1QQ
31 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . 9 ((1QQ𝐺Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
3230, 31mpan 424 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33 mulidnq 7387 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
3432, 33eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
3529, 34sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((𝐺Q𝑋Q) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
3635breq2d 4015 . . . . 5 ((𝐺Q𝑋Q) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3721, 9, 36syl2anc 411 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3827, 37mpbid 147 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39 prcdnql 7482 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
4039ad2antrr 488 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
4138, 40mpd 13 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
4241ex 115 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3595   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   ·Q cmq 7281  *Qcrq 7282   <Q cltq 7283  Pcnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-lti 7305  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  addnqprl  7527
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