Theorem addnqprllem 7587

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprllem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2		ltrnqi 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋))
3		ltrelnq 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
6	5	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 ∈ Q)
7		recclnq 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 ∈ Q)
10		recclnq 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
12		ltmnqg 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
13	8, 11, 9, 12	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
14		ltmnqg 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
17	9, 8, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
18		mulclnq 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
19	9, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
20		elprnql 7541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6088	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
37	21, 9, 36	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39		prcdnql 7544	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
40	39	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Qcnq 7340  1_Qc1q 7341   ·_Q cmq 7343  *_Qcrq 7344   <_Q cltq 7345  Pcnp 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-lti 7367  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-inp 7526

This theorem is referenced by:  addnqprl  7589