Theorem addnqprllem 7468

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprllem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2		ltrnqi 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋))
3		ltrelnq 7306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
5	4	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
6	5	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 ∈ Q)
7		recclnq 7333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
9		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 ∈ Q)
10		recclnq 7333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
12		ltmnqg 7342	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
13	8, 11, 9, 12	syl3anc 1228	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
14		ltmnqg 7342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
17	9, 8, 16	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
18		mulclnq 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
19	9, 11, 18	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
20		elprnql 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6011	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 187	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	syl5ib 153	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7307	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq2d 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
37	21, 9, 36	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
38	27, 37	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39		prcdnql 7425	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
40	39	ad2antrr 480	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
42	41	ex 114	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Qcnq 7221  1_Qc1q 7222   ·_Q cmq 7224  *_Qcrq 7225   <_Q cltq 7226  Pcnp 7232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-lti 7248  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407

This theorem is referenced by:  addnqprl  7470