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Theorem addnqprllem 6989
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2 ltrnqi 6883 . . . . . 6 (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q𝑆) <Q (*Q𝑋))
3 ltrelnq 6827 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
43brel 4448 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋Q𝑆Q))
54adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋Q𝑆Q))
65simprd 112 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆Q)
7 recclnq 6854 . . . . . . . . 9 (𝑆Q → (*Q𝑆) ∈ Q)
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑆) ∈ Q)
9 simplr 497 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋Q)
10 recclnq 6854 . . . . . . . . 9 (𝑋Q → (*Q𝑋) ∈ Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑋) ∈ Q)
12 ltmnqg 6863 . . . . . . . 8 (((*Q𝑆) ∈ Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q𝑋Q) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
138, 11, 9, 12syl3anc 1170 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
14 ltmnqg 6863 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q𝑤Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
1514adantl 271 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦Q𝑧Q𝑤Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16 mulclnq 6838 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
179, 8, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
18 mulclnq 6838 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
199, 11, 18syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
20 elprnql 6943 . . . . . . . . 9 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) → 𝐺Q)
2120ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺Q)
22 mulcomnqg 6845 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2322adantl 271 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦Q𝑧Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5749 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
2513, 24bitrd 186 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
262, 25syl5ib 152 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
271, 26mpd 13 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺))
28 recidnq 6855 . . . . . . . 8 (𝑋Q → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) = 1Q)
2928oveq1d 5606 . . . . . . 7 (𝑋Q → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30 1nq 6828 . . . . . . . . 9 1QQ
31 mulcomnqg 6845 . . . . . . . . 9 ((1QQ𝐺Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
3230, 31mpan 415 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33 mulidnq 6851 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
3432, 33eqtrd 2115 . . . . . . 7 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
3529, 34sylan9eqr 2137 . . . . . 6 ((𝐺Q𝑋Q) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
3635breq2d 3823 . . . . 5 ((𝐺Q𝑋Q) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3721, 9, 36syl2anc 403 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3827, 37mpbid 145 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39 prcdnql 6946 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
4039ad2antrr 472 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
4138, 40mpd 13 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
4241ex 113 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝐿) ∧ 𝑋Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3425   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  Qcnq 6742  1Qc1q 6743   ·Q cmq 6745  *Qcrq 6746   <Q cltq 6747  Pcnp 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-lti 6769  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-inp 6928
This theorem is referenced by:  addnqprl  6991
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