Theorem addnqprllem 7183

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprllem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2		ltrnqi 7077	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋))
3		ltrelnq 7021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
5	4	adantl 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
6	5	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 ∈ Q)
7		recclnq 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
9		simplr 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 ∈ Q)
10		recclnq 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
12		ltmnqg 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
13	8, 11, 9, 12	syl3anc 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
14		ltmnqg 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
17	9, 8, 16	syl2anc 404	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
18		mulclnq 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
19	9, 11, 18	syl2anc 404	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
20		elprnql 7137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 5852	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 187	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	syl5ib 153	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq2d 3879	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
37	21, 9, 36	syl2anc 404	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
38	27, 37	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39		prcdnql 7140	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
40	39	ad2antrr 473	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
42	41	ex 114	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  Qcnq 6936  1_Qc1q 6937   ·_Q cmq 6939  *_Qcrq 6940   <_Q cltq 6941  Pcnp 6947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-mi 6962  df-lti 6963  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122

This theorem is referenced by:  addnqprl  7185