Theorem addnqprllem 7525

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprllem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2		ltrnqi 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋))
3		ltrelnq 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
6	5	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 ∈ Q)
7		recclnq 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 ∈ Q)
10		recclnq 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
12		ltmnqg 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
13	8, 11, 9, 12	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
14		ltmnqg 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
17	9, 8, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
18		mulclnq 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
19	9, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
20		elprnql 7479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6043	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq2d 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
37	21, 9, 36	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39		prcdnql 7482	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
40	39	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Qcnq 7278  1_Qc1q 7279   ·_Q cmq 7281  *_Qcrq 7282   <_Q cltq 7283  Pcnp 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-lti 7305  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464

This theorem is referenced by:  addnqprl  7527