ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprulem GIF version

Theorem addnqprulem 7008
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2 ltrnqi 6901 . . . . . 6 (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q𝑋) <Q (*Q𝑆))
3 simplr 497 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋Q)
4 recclnq 6872 . . . . . . . . 9 (𝑋Q → (*Q𝑋) ∈ Q)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q𝑋) ∈ Q)
6 ltrelnq 6845 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4451 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆Q𝑋Q))
87adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆Q𝑋Q))
98simpld 110 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆Q)
10 recclnq 6872 . . . . . . . . 9 (𝑆Q → (*Q𝑆) ∈ Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q𝑆) ∈ Q)
12 ltmnqg 6881 . . . . . . . 8 (((*Q𝑋) ∈ Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q𝑋Q) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆))))
135, 11, 3, 12syl3anc 1172 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆))))
14 ltmnqg 6881 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q𝑤Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
1514adantl 271 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦Q𝑧Q𝑤Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16 mulclnq 6856 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
173, 5, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
18 mulclnq 6856 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
193, 11, 18syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
20 elprnqu 6962 . . . . . . . . 9 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) → 𝐺Q)
2120ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺Q)
22 mulcomnqg 6863 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2322adantl 271 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦Q𝑧Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5752 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
2513, 24bitrd 186 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
262, 25syl5ib 152 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
271, 26mpd 13 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺))
28 recidnq 6873 . . . . . . . 8 (𝑋Q → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) = 1Q)
2928oveq1d 5609 . . . . . . 7 (𝑋Q → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30 1nq 6846 . . . . . . . . 9 1QQ
31 mulcomnqg 6863 . . . . . . . . 9 ((1QQ𝐺Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
3230, 31mpan 415 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33 mulidnq 6869 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
3432, 33eqtrd 2117 . . . . . . 7 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
3529, 34sylan9eqr 2139 . . . . . 6 ((𝐺Q𝑋Q) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
3635breq1d 3824 . . . . 5 ((𝐺Q𝑋Q) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
3721, 3, 36syl2anc 403 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
3827, 37mpbid 145 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺))
39 prcunqu 6965 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
4039ad2antrr 472 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
4138, 40mpd 13 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
4241ex 113 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  cop 3428   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  Qcnq 6760  1Qc1q 6761   ·Q cmq 6763  *Qcrq 6764   <Q cltq 6765  Pcnp 6771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-mi 6786  df-lti 6787  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-inp 6946
This theorem is referenced by:  addnqpru  7010
  Copyright terms: Public domain W3C validator