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Theorem addnqprulem 7490
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2 ltrnqi 7383 . . . . . 6 (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q𝑋) <Q (*Q𝑆))
3 simplr 525 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋Q)
4 recclnq 7354 . . . . . . . . 9 (𝑋Q → (*Q𝑋) ∈ Q)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q𝑋) ∈ Q)
6 ltrelnq 7327 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4663 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆Q𝑋Q))
87adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆Q𝑋Q))
98simpld 111 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆Q)
10 recclnq 7354 . . . . . . . . 9 (𝑆Q → (*Q𝑆) ∈ Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q𝑆) ∈ Q)
12 ltmnqg 7363 . . . . . . . 8 (((*Q𝑋) ∈ Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q𝑋Q) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆))))
135, 11, 3, 12syl3anc 1233 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆))))
14 ltmnqg 7363 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q𝑤Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
1514adantl 275 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦Q𝑧Q𝑤Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16 mulclnq 7338 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
173, 5, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ∈ Q)
18 mulclnq 7338 . . . . . . . . 9 ((𝑋Q ∧ (*Q𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
193, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ∈ Q)
20 elprnqu 7444 . . . . . . . . 9 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) → 𝐺Q)
2120ad2antrr 485 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺Q)
22 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2322adantl 275 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦Q𝑧Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6022 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q𝑋) <Q (*Q𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
262, 25syl5ib 153 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
271, 26mpd 13 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺))
28 recidnq 7355 . . . . . . . 8 (𝑋Q → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) = 1Q)
2928oveq1d 5868 . . . . . . 7 (𝑋Q → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30 1nq 7328 . . . . . . . . 9 1QQ
31 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . 9 ((1QQ𝐺Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
3230, 31mpan 422 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33 mulidnq 7351 . . . . . . . 8 (𝐺Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
3432, 33eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝐺Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
3529, 34sylan9eqr 2225 . . . . . 6 ((𝐺Q𝑋Q) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
3635breq1d 3999 . . . . 5 ((𝐺Q𝑋Q) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
3721, 3, 36syl2anc 409 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺)))
3827, 37mpbid 146 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺))
39 prcunqu 7447 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
4039ad2antrr 485 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
4138, 40mpd 13 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
4241ex 114 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐺𝑈) ∧ 𝑋Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  cop 3586   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  Qcnq 7242  1Qc1q 7243   ·Q cmq 7245  *Qcrq 7246   <Q cltq 7247  Pcnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  addnqpru  7492
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