Theorem addnqprulem 7895

Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprulem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2		ltrnqi 7788	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆))
3		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋 ∈ Q)
4		recclnq 7759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
6		ltrelnq 7732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
9	8	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 ∈ Q)
10		recclnq 7759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
12		ltmnqg 7768	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
13	5, 11, 3, 12	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
14		ltmnqg 7768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
17	3, 5, 16	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
18		mulclnq 7743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
19	3, 11, 18	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
20		elprnqu 7849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6259	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7733	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq1d 4140	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
37	21, 3, 36	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
39		prcunqu 7852	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
40	39	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Qcnq 7647  1_Qc1q 7648   ·_Q cmq 7650  *_Qcrq 7651   <_Q cltq 7652  Pcnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-lti 7674  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833

This theorem is used by:  addnqpru  7897