Theorem addnqprulem 7839

Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprulem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2		ltrnqi 7732	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆))
3		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋 ∈ Q)
4		recclnq 7703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
6		ltrelnq 7676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
9	8	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 ∈ Q)
10		recclnq 7703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
12		ltmnqg 7712	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
13	5, 11, 3, 12	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
14		ltmnqg 7712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
17	3, 5, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
18		mulclnq 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
19	3, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
20		elprnqu 7793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6223	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 6064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7677	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq1d 4118	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
37	21, 3, 36	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
39		prcunqu 7796	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
40	39	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Qcnq 7591  1_Qc1q 7592   ·_Q cmq 7594  *_Qcrq 7595   <_Q cltq 7596  Pcnp 7602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-mi 7617  df-lti 7618  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664  df-inp 7777

This theorem is referenced by:  addnqpru  7841