Theorem addnqprulem 7848

Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprulem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2		ltrnqi 7741	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆))
3		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋 ∈ Q)
4		recclnq 7712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
6		ltrelnq 7685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
9	8	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 ∈ Q)
10		recclnq 7712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
12		ltmnqg 7721	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
13	5, 11, 3, 12	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
14		ltmnqg 7721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
17	3, 5, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
18		mulclnq 7696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
19	3, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
20		elprnqu 7802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6226	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 6067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7686	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq1d 4121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
37	21, 3, 36	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
39		prcunqu 7805	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
40	39	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Qcnq 7600  1_Qc1q 7601   ·_Q cmq 7603  *_Qcrq 7604   <_Q cltq 7605  Pcnp 7611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7624  df-mi 7626  df-lti 7627  df-mpq 7665  df-enq 7667  df-nqqs 7668  df-mqqs 7670  df-1nqqs 7671  df-rq 7672  df-ltnqqs 7673  df-inp 7786

This theorem is referenced by:  addnqpru  7850