Theorem addnqprulem 7530

Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprulem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2		ltrnqi 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆))
3		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋 ∈ Q)
4		recclnq 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
6		ltrelnq 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
9	8	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 ∈ Q)
10		recclnq 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
12		ltmnqg 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
13	5, 11, 3, 12	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
14		ltmnqg 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
17	3, 5, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
18		mulclnq 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
19	3, 11, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
20		elprnqu 7484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 6047	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq1d 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
37	21, 3, 36	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
38	27, 37	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
39		prcunqu 7487	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
40	39	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
42	41	ex 115	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  Qcnq 7282  1_Qc1q 7283   ·_Q cmq 7285  *_Qcrq 7286   <_Q cltq 7287  Pcnp 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-mi 7308  df-lti 7309  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-inp 7468

This theorem is referenced by:  addnqpru  7532