Theorem axarch 7813

Description: Archimedean axiom. The Archimedean property is more naturally stated once we have defined NN. Unless we find another way to state it, we'll just use the right hand side of dfnn2 8840 in stating what we mean by "natural number" in the context of this axiom.

This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-arch 7853. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axarch	|- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Proof of Theorem axarch

Dummy variables l u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7750	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = A )
2	1	biimpi 119	. 2 |- ( A e. RR -> E. z e. R. <. z , 0R >. = A )
3		archsr 7704	. . . 4 |- ( z e. R. -> E. w e. N. z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
4	3	ad2antrl 482	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) -> E. w e. N. z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
5		simplrr 526	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> <. z , 0R >. = A )
6		simprr 522	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
7		ltresr 7761	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
8	6, 7	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> <. z , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
9	5, 8	eqbrtrrd 3990	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> A <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
10		pitonn 7770	. . . . . 6 |- ( w e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
11	10	ad2antrl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
12		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) /\ n = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) -> n = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
13	12	breq2d 3979	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) /\ n = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) -> ( A <RR n <-> A <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
14	11, 13	rspcedv 2820	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> ( A <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n ) )
15	9, 14	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) /\ ( w e. N. /\ z <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. w , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. w , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
16	4, 15	rexlimddv 2579	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( z e. R. /\ <. z , 0R >. = A ) ) -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
17	2, 16	rexlimddv 2579	1 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   <.cop 3564   |^|cint 3809   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   1oc1o 6358   [cec 6480   N.cnpi 7194   ~Q ceq 7201   <Q cltq 7207   1Pc1p 7214   +P. cpp 7215   ~R cer 7218   R.cnr 7219   0Rc0r 7220   <R cltr 7225   RRcr 7733   1c1 7735   + caddc 7737   <RR cltrr 7738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-eprel 4251  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6482  df-ec 6484  df-qs 6488  df-ni 7226  df-pli 7227  df-mi 7228  df-lti 7229  df-plpq 7266  df-mpq 7267  df-enq 7269  df-nqqs 7270  df-plqqs 7271  df-mqqs 7272  df-1nqqs 7273  df-rq 7274  df-ltnqqs 7275  df-enq0 7346  df-nq0 7347  df-0nq0 7348  df-plq0 7349  df-mq0 7350  df-inp 7388  df-i1p 7389  df-iplp 7390  df-iltp 7392  df-enr 7648  df-nr 7649  df-plr 7650  df-ltr 7652  df-0r 7653  df-1r 7654  df-c 7740  df-1 7742  df-r 7744  df-add 7745  df-lt 7747

This theorem is referenced by: (None)