ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcom GIF version

Theorem axmulcom 7643
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7685 be used later. Instead, use mulcom 7713. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7613 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 7615 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 7615 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑥R𝑦R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑥, 𝑦⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩] E )
4 simpll 501 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑥R)
5 simprl 503 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑧R)
6 mulcomsrg 7529 . . . 4 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
74, 5, 6syl2anc 406 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
8 simplr 502 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑦R)
9 simprr 504 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑤R)
10 mulcomsrg 7529 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
118, 9, 10syl2anc 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
1211oveq2d 5756 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
137, 12oveq12d 5758 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))))
14 mulcomsrg 7529 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
158, 5, 14syl2anc 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
16 mulcomsrg 7529 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
174, 9, 16syl2anc 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
1815, 17oveq12d 5758 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)))
19 mulclsr 7526 . . . . 5 ((𝑧R𝑦R) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
205, 8, 19syl2anc 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
21 mulclsr 7526 . . . . 5 ((𝑤R𝑥R) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
229, 4, 21syl2anc 406 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
23 addcomsrg 7527 . . . 4 (((𝑧 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2420, 22, 23syl2anc 406 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2518, 24eqtrd 2148 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
261, 2, 3, 13, 25ecovicom 6503 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463   E cep 4177  ccnv 4506  (class class class)co 5740  Rcnr 7069  -1Rcm1r 7072   +R cplr 7073   ·R cmr 7074  cc 7582   · cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-imp 7241  df-enr 7498  df-nr 7499  df-plr 7500  df-mr 7501  df-m1r 7505  df-c 7590  df-mul 7596
This theorem is referenced by:  rereceu  7661  recriota  7662
  Copyright terms: Public domain W3C validator