ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcom GIF version

Theorem axmulcom 7406
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7446 be used later. Instead, use mulcom 7471. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7378 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 7380 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 7380 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑥R𝑦R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑥, 𝑦⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩] E )
4 simpll 496 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑥R)
5 simprl 498 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑧R)
6 mulcomsrg 7303 . . . 4 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
74, 5, 6syl2anc 403 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
8 simplr 497 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑦R)
9 simprr 499 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑤R)
10 mulcomsrg 7303 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
118, 9, 10syl2anc 403 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
1211oveq2d 5668 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
137, 12oveq12d 5670 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))))
14 mulcomsrg 7303 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
158, 5, 14syl2anc 403 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
16 mulcomsrg 7303 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
174, 9, 16syl2anc 403 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
1815, 17oveq12d 5670 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)))
19 mulclsr 7300 . . . . 5 ((𝑧R𝑦R) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
205, 8, 19syl2anc 403 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
21 mulclsr 7300 . . . . 5 ((𝑤R𝑥R) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
229, 4, 21syl2anc 403 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
23 addcomsrg 7301 . . . 4 (((𝑧 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2420, 22, 23syl2anc 403 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2518, 24eqtrd 2120 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
261, 2, 3, 13, 25ecovicom 6400 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   E cep 4114  ccnv 4437  (class class class)co 5652  Rcnr 6856  -1Rcm1r 6859   +R cplr 6860   ·R cmr 6861  cc 7348   · cmul 7355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-imp 7028  df-enr 7272  df-nr 7273  df-plr 7274  df-mr 7275  df-m1r 7279  df-c 7356  df-mul 7362
This theorem is referenced by:  rereceu  7424  recriota  7425
  Copyright terms: Public domain W3C validator