Theorem axmulcom 7812

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7854 be used later. Instead, use mulcom 7882. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7782	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		mulcnsrec 7784	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 7784	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E · [⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩]◡ E )
4		simpll 519	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑥 ∈ R)
5		simprl 521	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑧 ∈ R)
6		mulcomsrg 7698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
8		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑦 ∈ R)
9		simprr 522	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑤 ∈ R)
10		mulcomsrg 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
11	8, 9, 10	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
12	11	oveq2d 5858	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
13	7, 12	oveq12d 5860	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))))
14		mulcomsrg 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
15	8, 5, 14	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
16		mulcomsrg 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
17	4, 9, 16	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
18	15, 17	oveq12d 5860	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)))
19		mulclsr 7695	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
20	5, 8, 19	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
21		mulclsr 7695	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
22	9, 4, 21	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
23		addcomsrg 7696	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
24	20, 22, 23	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
25	18, 24	eqtrd 2198	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6609	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   E cep 4265  ^◡ccnv 4603  (class class class)co 5842  Rcnr 7238  -1_Rcm1r 7241   +_R cplr 7242   ·_R cmr 7243  ℂcc 7751   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-m1r 7674  df-c 7759  df-mul 7765

This theorem is referenced by:  rereceu  7830  recriota  7831