Theorem axmulcom 7833

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7875 be used later. Instead, use mulcom 7903. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7803	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		mulcnsrec 7805	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 7805	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E · [⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩]◡ E )
4		simpll 524	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑥 ∈ R)
5		simprl 526	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑧 ∈ R)
6		mulcomsrg 7719	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
8		simplr 525	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑦 ∈ R)
9		simprr 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → 𝑤 ∈ R)
10		mulcomsrg 7719	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
11	8, 9, 10	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
12	11	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
13	7, 12	oveq12d 5871	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))))
14		mulcomsrg 7719	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
15	8, 5, 14	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
16		mulcomsrg 7719	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
17	4, 9, 16	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
18	15, 17	oveq12d 5871	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)))
19		mulclsr 7716	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
20	5, 8, 19	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
21		mulclsr 7716	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
22	9, 4, 21	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
23		addcomsrg 7717	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
24	20, 22, 23	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
25	18, 24	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6621	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   E cep 4272  ^◡ccnv 4610  (class class class)co 5853  Rcnr 7259  -1_Rcm1r 7262   +_R cplr 7263   ·_R cmr 7264  ℂcc 7772   · cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-m1r 7695  df-c 7780  df-mul 7786

This theorem is referenced by:  rereceu  7851  recriota  7852