ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcom GIF version

Theorem axmulcom 7791
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7833 be used later. Instead, use mulcom 7861. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7761 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 7763 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 7763 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑥R𝑦R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑥, 𝑦⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩] E )
4 simpll 519 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑥R)
5 simprl 521 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑧R)
6 mulcomsrg 7677 . . . 4 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
74, 5, 6syl2anc 409 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥))
8 simplr 520 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑦R)
9 simprr 522 . . . . 5 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → 𝑤R)
10 mulcomsrg 7677 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
118, 9, 10syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦))
1211oveq2d 5840 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
137, 12oveq12d 5842 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))))
14 mulcomsrg 7677 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
158, 5, 14syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦))
16 mulcomsrg 7677 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
174, 9, 16syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥))
1815, 17oveq12d 5842 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)))
19 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑧R𝑦R) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
205, 8, 19syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑧 ·R 𝑦) ∈ R)
21 mulclsr 7674 . . . . 5 ((𝑤R𝑥R) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
229, 4, 21syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R)
23 addcomsrg 7675 . . . 4 (((𝑧 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑥) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2420, 22, 23syl2anc 409 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
2518, 24eqtrd 2190 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦)))
261, 2, 3, 13, 25ecovicom 6588 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128   E cep 4247  ccnv 4585  (class class class)co 5824  Rcnr 7217  -1Rcm1r 7220   +R cplr 7221   ·R cmr 7222  cc 7730   · cmul 7737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-imp 7389  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-mr 7649  df-m1r 7653  df-c 7738  df-mul 7744
This theorem is referenced by:  rereceu  7809  recriota  7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator