Theorem cats1fvnd 11297

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats1fvnd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvnd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1fvnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		lencl 11075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
7	6	addlidd 8296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
8		cats1fvnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
9	7, 8	eqtr2d 2263	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆)))
10	2, 9	fveq12d 5634	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
11		cats1fvnd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		elex 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
13	12	s1cld 11155	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
15		s1leng 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
16		1nn 9121	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	15, 16	eqeltrdi 2320	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
18		lbfzo0 10381	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
20	11, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
21		ccatval3 11134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
22	3, 14, 20, 21	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
23		s1fv 11159	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
24	11, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002  ℕcn 9110  ℕ₀cn0 9369  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071   ++ cconcat 11125  ⟨“cs1 11148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-concat 11126  df-s1 11149

This theorem is referenced by:  s2fv1g  11320