Theorem cats1fvnd 11450

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats1fvnd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvnd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1fvnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		lencl 11221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
7	6	addlidd 8419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
8		cats1fvnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
9	7, 8	eqtr2d 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆)))
10	2, 9	fveq12d 5676	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
11		cats1fvnd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		elex 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
13	12	s1cld 11303	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
15		s1leng 11305	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
16		1nn 9244	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	15, 16	eqeltrdi 2323	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
18		lbfzo0 10515	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
20	11, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
21		ccatval3 11280	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
22	3, 14, 20, 21	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
23		s1fv 11307	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
24	11, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ..^cfzo 10472  ♯chash 11133  Word cword 11217   ++ cconcat 11271  ⟨“cs1 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-concat 11272  df-s1 11297

This theorem is referenced by:  s2fv1g  11473  s3fv2g  11478