Theorem cats1fvnd 11520

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats1fvnd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvnd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1fvnd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		lencl 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
7	6	addlidd 8470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
8		cats1fvnd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
9	7, 8	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆)))
10	2, 9	fveq12d 5700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
11		cats1fvnd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
13	12	s1cld 11373	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
15		s1leng 11375	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
16		1nn 9298	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	15, 16	eqeltrdi 2329	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
18		lbfzo0 10575	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
20	11, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)))
21		ccatval3 11350	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
22	3, 14, 20, 21	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
23		s1fv 11377	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
24	11, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Word cword 11287   ++ cconcat 11341  ⟨“cs1 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-concat 11342  df-s1 11367

This theorem is referenced by:  s2fv1g  11543  s3fv2g  11548