Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreb GIF version

Theorem cjreb 10671
 Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 10658 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 7819 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 ax-icn 7740 . . . . . 6 i ∈ ℂ
4 imcl 10659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 7819 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 mulcl 7772 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
73, 5, 6sylancr 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
82, 7negsubd 8104 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9 mulneg2 8183 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
103, 5, 9sylancr 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
1110oveq2d 5798 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12 remim 10665 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
138, 11, 123eqtr4rd 2184 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
14 replim 10664 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
1513, 14eqeq12d 2155 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
165negcld 8085 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17 mulcl 7772 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
183, 16, 17sylancr 411 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
192, 18, 7addcand 7971 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴))))
20 eqcom 2142 . . . 4 (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
215eqnegd 8518 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
2220, 21syl5bb 191 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
23 iap0 8968 . . . . . 6 i # 0
243, 23pm3.2i 270 . . . . 5 (i ∈ ℂ ∧ i # 0)
2524a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ∧ i # 0))
26 mulcanap 8451 . . . 4 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
2716, 5, 25, 26syl3anc 1217 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
28 reim0b 10667 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
2922, 27, 283bitr4d 219 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
3015, 19, 293bitrrd 214 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7643  ℝcr 7644  0cc0 7645  ici 7647   + caddc 7648   · cmul 7650   − cmin 7958  -cneg 7959   # cap 8368  ∗ccj 10644  ℜcre 10645  ℑcim 10646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-2 8804  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649 This theorem is referenced by:  cjre  10687  cjmulrcl  10692  cjrebi  10723  cjrebd  10751
 Copyright terms: Public domain W3C validator