Theorem cjreb 10910

Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjreb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem cjreb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 7937	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 10898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 7969	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negsubd 8305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9		mulneg2 8384	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
10	3, 5, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
11	10	oveq2d 5913	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12		remim 10904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
14		replim 10903	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	13, 14	eqeq12d 2204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
16	5	negcld 8286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 7969	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	3, 16, 17	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	2, 18, 7	addcand 8172	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴))))
20		eqcom 2191	. . . 4 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
21	5	eqnegd 8721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
22	20, 21	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
23		iap0 9173	. . . . . 6 ⊢ i # 0
24	3, 23	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)
25	24	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ∧ i # 0))
26		mulcanap 8653	. . . 4 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
27	16, 5, 25, 26	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
28		reim0b 10906	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
29	22, 27, 28	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
30	15, 19, 29	3bitrrd 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841  0cc0 7842  ici 7844   + caddc 7845   · cmul 7847   − cmin 8159  -cneg 8160   # cap 8569  ∗ccj 10883  ℜcre 10884  ℑcim 10885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-2 9009  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888

This theorem is referenced by:  cjre  10926  cjmulrcl  10931  cjrebi  10962  cjrebd  10990