Theorem clwwlkg 16243

Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑤,𝑖)

Proof of Theorem clwwlkg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlk 16242	. 2 ⊢ ClWWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))})
2		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3		clwwlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	eqtr4di 2282	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5		wrdeq 11134	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8		clwwlk.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2282	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
10	9	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12	9	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
13	11, 12	3anbi23d 1351	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)))
14	6, 13	rabeqbidv 2797	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
15		elex 2814	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
16		vtxex 15868	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
17	3, 16	eqeltrid 2318	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝑉 ∈ V)
18		wrdexg 11123	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
19		rabexg 4233	. . 3 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
20	17, 18, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
21	1, 14, 15, 20	fvmptd3 5740	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802  ∅c0 3494  {cpr 3670  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112  lastSclsw 11157  Vtxcvtx 15862  Edgcedg 15907  ClWWalkscclwwlk 16241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-word 11113  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-vtx 15864  df-clwwlk 16242

This theorem is referenced by:  isclwwlk  16244