Theorem metcnpi2 15507

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with swapped distance function arguments as in metcnp2 15504. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi2	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
4		metcn.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` C )
5	4	mopntopon 15434	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7	4	mopnuni 15436	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
9	8	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J ) )
10	6, 9	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11		metcn.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntop 15435	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. Top )
13	3, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
14		cnprcl2k 15197	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
15	10, 13, 1, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
16	15, 8	eleqtrrd 2314	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
17	4, 11	metcnp2 15504	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) ) ) )
18	2, 3, 16, 17	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) ) ) )
19	1, 18	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) ) )
20		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z <-> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
21	20	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) <-> ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) )
22	21	rexralbidv 2570	. . . 4 |- ( z = A -> ( E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) <-> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) )
23	22	rspccv 2920	. . 3 |- ( A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < z ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) )
24	19, 23	simpl2im 386	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) )
25	24	impr 379	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   U.cuni 3919   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   < clt 8324   RR+crp 10004   *Metcxmet 14810   MetOpencmopn 14815   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180

This theorem is referenced by:  metcnpi3  15508