ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpi2 Unicode version

Theorem metcnpi2 14019
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with swapped distance function arguments as in metcnp2 14016. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
2 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
3 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  D  e.  ( *Met `  Y
) )
4 metcn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
54mopntopon 13946 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
65ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
74mopnuni 13948 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
87ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  X  =  U. J )
98fveq2d 5520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  (TopOn `  X
)  =  (TopOn `  U. J ) )
106, 9eleqtrd 2256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 metcn.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
1211mopntop 13947 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  Top )
133, 12syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
14 cnprcl2k 13709 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  U. J )
1510, 13, 1, 14syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  U. J )
1615, 8eleqtrrd 2257 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
174, 11metcnp2 14016 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) ) )
182, 3, 16, 17syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  x  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z ) ) ) )
191, 18mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) )
20 breq2 4008 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z  <->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) )
2120imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z )  <-> 
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )
2221rexralbidv 2503 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  z )  <->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2322rspccv 2839 . . 3  |-  ( A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2419, 23simpl2im 386 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2524impr 379 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   U.cuni 3810   class class class wbr 4004   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875    < clt 7992   RR+crp 9653   *Metcxmet 13443   MetOpencmopn 13448   Topctop 13500  TopOnctopon 13513    CnP ccnp 13689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cnp 13692
This theorem is referenced by:  metcnpi3  14020
  Copyright terms: Public domain W3C validator