Theorem dvrass 13261

Description: An associative law for division. (divassap 8645 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrass	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr1 1003	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1004	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simpr3 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
5		dvrass.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		dvrass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	5, 6, 7	ringinvcl 13247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
9	4, 8	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10		dvrass.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	ringass 13152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑋 · (𝑌 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
12	1, 2, 3, 9, 11	syl13anc 1240	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑋 · (𝑌 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
13	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
14	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → · = (.r‘𝑅))
15	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
16	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
17		dvrass.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → / = (/r‘𝑅))
19	7, 10	ringcl 13149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	19	3adant3r3 1214	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	13, 14, 15, 16, 18, 1, 20, 4	dvrvald 13256	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)))
22	13, 14, 15, 16, 18, 1, 3, 4	dvrvald 13256	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)))
23	22	oveq2d 5890	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · (𝑌 / 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
24	12, 21, 23	3eqtr4d 2220	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  Ringcrg 13132  Unitcui 13209  inv_rcinvr 13242  /_rcdvr 13253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-tpos 6245  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-oppr 13193  df-dvdsr 13211  df-unit 13212  df-invr 13243  df-dvr 13254

This theorem is referenced by:  dvrcan3  13263