ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 GIF version
Theorem dvrcan1 13307
Description: A cancellation law for division. (divcanap1 8637 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrass.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrass.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
21a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
3 dvrass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
43a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
5 dvrass.o . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
65a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
7 eqid 2177 . . . . 5 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
87a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…))
9 dvrass.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
109a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
11 simp1 997 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 simp2 998 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp3 999 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
142, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13dvrvald 13301 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
1514oveq1d 5889 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ))
165, 7, 1ringinvcl 13292 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
17163adant2 1016 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 ringsrg 13222 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
1911, 18syl 14 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ SRing)
202, 6, 19, 13unitcld 13275 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
211, 3ringass 13197 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
2211, 12, 17, 20, 21syl13anc 1240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
23 eqid 2177 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
245, 7, 3, 23unitlinv 13293 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
25243adant2 1016 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
2625oveq2d 5890 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)))
271, 3, 23ringridm 13205 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
28273adant3 1017 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
2926, 28eqtrd 2210 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = 𝑋)
3015, 22, 293eqtrd 2214 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  .rcmulr 12536  1rcur 13140  SRingcsrg 13144  Ringcrg 13177  Unitcui 13254  invrcinvr 13287  /rcdvr 13298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-tpos 6245  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-cmn 13088  df-abl 13089  df-mgp 13129  df-ur 13141  df-srg 13145  df-ring 13179  df-oppr 13238  df-dvdsr 13256  df-unit 13257  df-invr 13288  df-dvr 13299
This theorem is referenced by:  dvreq1  13309  lringuplu  13335
  Copyright terms: Public domain W3C validator