Theorem dvrcan1 14119

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 8839 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvrass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → · = (.r‘𝑅))
5		dvrass.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
9		dvrass.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → / = (/r‘𝑅))
11		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 14113	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15	14	oveq1d 6022	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
16	5, 7, 1	ringinvcl 14104	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	16	3adant2 1040	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		ringsrg 14025	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
19	11, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
20	2, 6, 19, 13	unitcld 14087	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	1, 3	ringass 13994	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
23		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 14105	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
25	24	3adant2 1040	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
26	25	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
27	1, 3, 23	ringridm 14002	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
28	27	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
29	26, 28	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
30	15, 22, 29	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  ._rcmulr 13126  1_rcur 13937  SRingcsrg 13941  Ringcrg 13974  Unitcui 14065  inv_rcinvr 14099  /_rcdvr 14110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-oppr 14046  df-dvdsr 14067  df-unit 14068  df-invr 14100  df-dvr 14111

This theorem is referenced by:  dvreq1  14121  lringuplu  14175