Theorem elfz1b 10286

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10211	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
2		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0red 8147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4		1red 8161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 9450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		0lt1 8273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11		ltletr 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 9456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	2, 13, 14	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	16	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
19	18	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	19	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21		zre 9450	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 9450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	21, 5, 22	3anim123i 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3com23 1233	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25		letr 8229	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		0red 8147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 8161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 8570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34		elnnz 9456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
35	27, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
36	35	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
37	36	3ad2ant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
38	26, 37	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
39	38	imp 124	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
41	20, 39, 40	3jca 1201	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
42		1zzd 9473	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43		nnz 9465	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		nnz 9465	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1201	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48		nnge1 9133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49	48	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
51	47, 49, 50	jca32 310	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
52	41, 51	impbii 126	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
53	1, 52	bitri 184	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999  1c1 8000   < clt 8181   ≤ cle 8182  ℕcn 9110  ℤcz 9446  ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-z 9447  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  10406  eulerthlema  12752  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem2  15741  gausslemma2dlem4  15743  cvgcmp2nlemabs  16400