Theorem elfz1b 9565

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9492	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
2		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0red 7550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4		1red 7564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 8815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		0lt1 7671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11		ltletr 7635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	11	imp 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 8821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	2, 13, 14	sylanbrc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	16	3ad2ant3 967	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
19	18	adantr 271	. . . . 5 ⊢ ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	19	impcom 124	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21		zre 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	21, 5, 22	3anim123i 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3com23 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25		letr 7629	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		0red 7550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 7564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	22	adantr 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 7962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34		elnnz 8821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
35	27, 33, 34	sylanbrc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
36	35	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
37	36	3ad2ant2 966	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
38	26, 37	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
39	38	imp 123	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40		simprr 500	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
41	20, 39, 40	3jca 1124	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
42		1zzd 8838	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43		nnz 8830	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 966	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		nnz 8830	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	3ad2ant1 965	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48		nnge1 8506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49	48	3ad2ant1 965	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50		simp3 946	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
51	47, 49, 50	jca32 304	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
52	41, 51	impbii 125	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
53	1, 52	bitri 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℕcn 8483  ℤcz 8811  ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-z 8812  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9672