Theorem elfz1b 10475

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10397	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
2		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0red 8317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4		1red 8331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 9627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		0lt1 8443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11		ltletr 8405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 9633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	2, 13, 14	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	16	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
19	18	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	19	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21		zre 9627	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 9627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	21, 5, 22	3anim123i 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3com23 1240	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25		letr 8398	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		0red 8317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 8331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 8741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34		elnnz 9633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
35	27, 33, 34	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
36	35	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
37	36	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
38	26, 37	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
39	38	imp 124	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
41	20, 39, 40	3jca 1208	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
42		1zzd 9650	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43		nnz 9642	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1050	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		nnz 9642	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48		nnge1 9306	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49	48	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
51	47, 49, 50	jca32 310	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
52	41, 51	impbii 126	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
53	1, 52	bitri 184	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  10596  eulerthlema  12986  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem2  16095  gausslemma2dlem4  16097  cvgcmp2nlemabs  16986