Theorem elnnz1 8871

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnge1 8543	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 301	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
4		0lt1 7707	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		zre 8852	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		0re 7585	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 7584	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ltletr 7671	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
11	4, 10	mpani 422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
12	11	imdistani 435	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
13		elnnz 8858	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
14	12, 13	sylibr 133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	3, 14	impbii 125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   < clt 7619   ≤ cle 7620  ℕcn 8520  ℤcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849

This theorem is referenced by:  nnzrab  8872  znnnlt1  8896  eluz2b2  9189  elfznn  9617  flqge1nn  9850  resqrexlemdecn  10560  cvgratz  11075  oddennn  11632