Theorem enrer 7634

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrer	⊢ ~R Er (P × P)

Proof of Theorem enrer

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 7625	. 2 ⊢ ~R = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))}
2		addcomprg 7477	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
3		addclpr 7436	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) ∈ P)
4		addassprg 7478	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦) +P 𝑧) = (𝑥 +P (𝑦 +P 𝑧)))
5		addcanprg 7515	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦) = (𝑥 +P 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6	1, 2, 3, 4, 5	ecopoverg 6570	1 ⊢ ~R Er (P × P)

Syntax hints:   × cxp 4577   Er wer 6466  Pcnp 7190   +_P cpp 7192   ~_R cer 7195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-eprel 4244  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-pli 7204  df-mi 7205  df-lti 7206  df-plpq 7243  df-mpq 7244  df-enq 7246  df-nqqs 7247  df-plqqs 7248  df-mqqs 7249  df-1nqqs 7250  df-rq 7251  df-ltnqqs 7252  df-enq0 7323  df-nq0 7324  df-0nq0 7325  df-plq0 7326  df-mq0 7327  df-inp 7365  df-iplp 7367  df-enr 7625

This theorem is referenced by:  enreceq  7635  prsrlem1  7641  addsrmo  7642  mulsrmo  7643  ltsrprg  7646  gt0srpr  7647  0nsr  7648  axcnex  7758