Theorem eupthres 16578

Description: The restriction <. H , Q >. of an Eulerian path <. F , P >. to an initial segment of the path (of length N) forms an Eulerian path on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth0.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthres.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
eupthres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
eupthres.h	|- H = ( F prefix N )
eupthres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
eupthres.s	|- (Vtx ` S ) = V

Assertion

Ref	Expression
eupthres	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupth0.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4		eupthistrl 16575	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
5		trliswlk 16507	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
7		eupthres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		eupthres.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
10		eupthres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		eupthres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
12		eupthres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 16500	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
14	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 16510	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
16		eqid 2234	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
17	16	iseupthf1o 16569	. . 3 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) )
18	10	dmeqd 4963	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` S ) = dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
19	18	f1oeq3d 5616	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) <-> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 464	. . 3 |- ( ph -> ( ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
22	13, 15, 21	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   |` cres 4756   "cima 4757   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163   prefix cpfx 11389  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Walkscwlks 16438  Trailsctrls 16501  EulerPathsceupth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363  df-pfx 11390  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-wlks 16439  df-trls 16502  df-eupth 16564

This theorem is referenced by: (None)