Theorem eupthres 16381

Description: The restriction <. H , Q >. of an Eulerian path <. F , P >. to an initial segment of the path (of length N) forms an Eulerian path on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth0.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthres.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
eupthres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
eupthres.h	|- H = ( F prefix N )
eupthres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
eupthres.s	|- (Vtx ` S ) = V

Assertion

Ref	Expression
eupthres	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupth0.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4		eupthistrl 16378	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
5		trliswlk 16310	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
7		eupthres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		eupthres.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
10		eupthres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		eupthres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
12		eupthres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 16303	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
14	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 16313	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
16		eqid 2231	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
17	16	iseupthf1o 16372	. . 3 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) )
18	10	dmeqd 4939	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` S ) = dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
19	18	f1oeq3d 5589	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) <-> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 464	. . 3 |- ( ph -> ( ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
22	13, 15, 21	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   |` cres 4733   "cima 4734   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083   prefix cpfx 11302  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Walkscwlks 16241  Trailsctrls 16304  EulerPathsceupth 16366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-substr 11276  df-pfx 11303  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-wlks 16242  df-trls 16305  df-eupth 16367

This theorem is referenced by: (None)