Theorem eupthres 16698

Description: The restriction <. H , Q >. of an Eulerian path <. F , P >. to an initial segment of the path (of length N) forms an Eulerian path on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth0.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthres.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
eupthres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
eupthres.h	|- H = ( F prefix N )
eupthres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
eupthres.s	|- (Vtx ` S ) = V

Assertion

Ref	Expression
eupthres	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupth0.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4		eupthistrl 16695	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
5		trliswlk 16627	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
7		eupthres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		eupthres.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
10		eupthres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		eupthres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
12		eupthres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 16620	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
14	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 16630	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
16		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
17	16	iseupthf1o 16689	. . 3 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) )
18	10	dmeqd 4983	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` S ) = dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
19	18	f1oeq3d 5636	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) <-> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 468	. . 3 |- ( ph -> ( ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
22	13, 15, 21	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   |` cres 4776   "cima 4777   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214   prefix cpfx 11444  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  Walkscwlks 16558  Trailsctrls 16621  EulerPathsceupth 16683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-substr 11418  df-pfx 11445  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-wlks 16559  df-trls 16622  df-eupth 16684

This theorem is used by: (None)