Theorem eupthres 16444

Description: The restriction <. H , Q >. of an Eulerian path <. F , P >. to an initial segment of the path (of length N) forms an Eulerian path on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth0.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthres.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
eupthres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
eupthres.h	|- H = ( F prefix N )
eupthres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
eupthres.s	|- (Vtx ` S ) = V

Assertion

Ref	Expression
eupthres	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupth0.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4		eupthistrl 16441	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
5		trliswlk 16373	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
7		eupthres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		eupthres.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
10		eupthres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		eupthres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
12		eupthres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 16366	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
14	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 16376	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
16		eqid 2232	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
17	16	iseupthf1o 16435	. . 3 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) )
18	10	dmeqd 4957	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` S ) = dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
19	18	f1oeq3d 5610	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) <-> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 464	. . 3 |- ( ph -> ( ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
22	13, 15, 21	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   |` cres 4750   "cima 4751   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8126   ...cfz 10341  ..^cfzo 10475  ♯chash 11136   prefix cpfx 11360  Vtxcvtx 15999  iEdgciedg 16000  Walkscwlks 16304  Trailsctrls 16367  EulerPathsceupth 16429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-ihash 11137  df-word 11221  df-substr 11334  df-pfx 11361  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-edgf 15992  df-vtx 16001  df-iedg 16002  df-wlks 16305  df-trls 16368  df-eupth 16430

This theorem is referenced by: (None)