Theorem eupthres 16307

Description: The restriction <. H , Q >. of an Eulerian path <. F , P >. to an initial segment of the path (of length N) forms an Eulerian path on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth0.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthres.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
eupthres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
eupthres.h	|- H = ( F prefix N )
eupthres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
eupthres.s	|- (Vtx ` S ) = V

Assertion

Ref	Expression
eupthres	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupth0.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4		eupthistrl 16304	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
5		trliswlk 16236	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
7		eupthres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		eupthres.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
10		eupthres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		eupthres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
12		eupthres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 16229	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
14	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 16239	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
16		eqid 2231	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
17	16	iseupthf1o 16298	. . 3 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) )
18	10	dmeqd 4933	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` S ) = dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
19	18	f1oeq3d 5580	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) <-> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 464	. . 3 |- ( ph -> ( ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom (iEdg ` S ) ) <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
22	13, 15, 21	mpbir2and 952	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   |` cres 4727   "cima 4728   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036   prefix cpfx 11252  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Walkscwlks 16167  Trailsctrls 16230  EulerPathsceupth 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-substr 11226  df-pfx 11253  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-wlks 16168  df-trls 16231  df-eupth 16293

This theorem is referenced by: (None)