ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evennn02n GIF version

Theorem evennn02n 11900
Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn02n (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem evennn02n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2250 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•0))
2 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3 2re 9002 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 zre 9270 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
65adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
7 2pos 9023 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < 2)
9 nn0ge0 9214 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
11 prodge0 8824 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (0 < 2 โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1249 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
13 elnn0z 9279 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
142, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1514ex 115 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
161, 15syl6bir 164 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1716com13 80 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1817impcom 125 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
1918pm4.71rd 394 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2019bicomd 141 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2120rexbidva 2484 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
22 nn0ssz 9284 . . 3 โ„•0 โІ โ„ค
23 rexss 3234 . . 3 (โ„•0 โІ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2422, 23mp1i 10 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
25 even2n 11892 . . 3 (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
2625a1i 9 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2721, 24, 263bitr4rd 221 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   โІ wss 3141   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824   ยท cmul 7829   < clt 8005   โ‰ค cle 8006  2c2 8983  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-dvds 11808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator