Theorem evennn02n 11427

Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn02n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2177	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3		2re 8700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5		zre 8962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	5	adantl 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7		2pos 8721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 2)
9		nn0ge0 8906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
10	9	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
11		prodge0 8522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
13		elnn0z 8971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
14	2, 12, 13	sylanbrc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
15	14	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
16	1, 15	syl6bir 163	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
17	16	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
18	17	impcom 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
19	18	pm4.71rd 389	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
20	19	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
21	20	rexbidva 2408	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22		nn0ssz 8976	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
23		rexss 3130	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
24	22, 23	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25		even2n 11419	. . 3 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
26	25	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
27	21, 24, 26	3bitr4rd 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∃wrex 2391   ⊆ wss 3037   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  ℝcr 7546  0cc0 7547   · cmul 7552   < clt 7724   ≤ cle 7725  2c2 8681  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958   ∥ cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-dvds 11342

This theorem is referenced by: (None)