ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evennn02n GIF version

Theorem evennn02n 11906
Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn02n (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem evennn02n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2252 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•0))
2 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3 2re 9008 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 zre 9276 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
65adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
7 2pos 9029 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < 2)
9 nn0ge0 9220 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
11 prodge0 8830 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (0 < 2 โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1250 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
13 elnn0z 9285 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
142, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1514ex 115 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
161, 15syl6bir 164 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1716com13 80 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1817impcom 125 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
1918pm4.71rd 394 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2019bicomd 141 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2120rexbidva 2487 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
22 nn0ssz 9290 . . 3 โ„•0 โІ โ„ค
23 rexss 3237 . . 3 (โ„•0 โІ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2422, 23mp1i 10 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
25 even2n 11898 . . 3 (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
2625a1i 9 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2721, 24, 263bitr4rd 221 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โˆƒwrex 2469   โІ wss 3144   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„cr 7829  0cc0 7830   ยท cmul 7835   < clt 8011   โ‰ค cle 8012  2c2 8989  โ„•0cn0 9195  โ„คcz 9272   โˆฅ cdvds 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator