Theorem frec2uzrand 10209

Description: Range of G (see frec2uz0d 10203). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	|- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		zex 9087	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
3	2	mptex 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
4		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5	3, 4	fvex 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6	5	ax-gen 1426	. . . . . . . 8 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
7		frecfnom 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	6, 7	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5225	. . . . . . 7 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> G Fn om )
12		fvelrnb 5477	. . . . . 6 |- ( G Fn om -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
14		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
15		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> z e. om )
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10206	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
18	16, 17	syl5ibcom 154	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
19	18	rexlimdva 2552	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
20	13, 19	sylbid 149	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
21		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( w = C -> ( w e. ran G <-> C e. ran G ) )
22		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w e. ran G <-> y e. ran G ) )
23		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( w e. ran G <-> ( y + 1 ) e. ran G ) )
24		id 19	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ZZ )
25	24, 9	frec2uz0d 10203	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) = C )
26		peano1 4516	. . . . . . 7 |- (/) e. om
27		fnfvelrn 5560	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn om /\ (/) e. om ) -> ( G ` (/) ) e. ran G )
28	11, 26, 27	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) e. ran G )
29	25, 28	eqeltrrd 2218	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> C e. ran G )
30		eluzel2 9355	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> C e. ZZ )
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
32		oveq1 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) + 1 ) = ( y + 1 ) )
33	31, 32	sylan9eq 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) = ( y + 1 ) )
34		peano2 4517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> suc z e. om )
35		fnfvelrn 5560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn om /\ suc z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
36	11, 34, 35	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
38	33, 37	eqeltrrd 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( y + 1 ) e. ran G )
39	38	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
40	39	rexlimdva 2552	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
41	13, 40	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9410	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> y e. ran G )
44	20, 43	impbid1 141	. . 3 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
45	44	eqrdv 2138	. 2 |- ( C e. ZZ -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
46	1, 45	syl 14	1 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   ran crn 4548   Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10210