Theorem frec2uzrand 10552

Description: Range of G (see frec2uz0d 10546). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	|- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		zex 9383	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
3	2	mptex 5812	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
4		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5	3, 4	fvex 5598	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6	5	ax-gen 1472	. . . . . . . 8 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
7		frecfnom 6489	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5369	. . . . . . 7 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> G Fn om )
12		fvelrnb 5628	. . . . . 6 |- ( G Fn om -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
14		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> z e. om )
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10549	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17		eleq1 2268	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
18	16, 17	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
19	18	rexlimdva 2623	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
20	13, 19	sylbid 150	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
21		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = C -> ( w e. ran G <-> C e. ran G ) )
22		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w e. ran G <-> y e. ran G ) )
23		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( w e. ran G <-> ( y + 1 ) e. ran G ) )
24		id 19	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ZZ )
25	24, 9	frec2uz0d 10546	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) = C )
26		peano1 4643	. . . . . . 7 |- (/) e. om
27		fnfvelrn 5714	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn om /\ (/) e. om ) -> ( G ` (/) ) e. ran G )
28	11, 26, 27	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) e. ran G )
29	25, 28	eqeltrrd 2283	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> C e. ran G )
30		eluzel2 9655	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> C e. ZZ )
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
32		oveq1 5953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) + 1 ) = ( y + 1 ) )
33	31, 32	sylan9eq 2258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) = ( y + 1 ) )
34		peano2 4644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> suc z e. om )
35		fnfvelrn 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn om /\ suc z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
36	11, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
38	33, 37	eqeltrrd 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( y + 1 ) e. ran G )
39	38	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
40	39	rexlimdva 2623	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
41	13, 40	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9711	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> y e. ran G )
44	20, 43	impbid1 142	. . 3 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
45	44	eqrdv 2203	. 2 |- ( C e. ZZ -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
46	1, 45	syl 14	1 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   |-> cmpt 4106   suc csuc 4413   omcom 4639   ran crn 4677   Fn wfn 5267   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  freccfrec 6478   1c1 7928   + caddc 7930   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10553