ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Unicode version

Theorem frec2uzrand 10399
Description: Range of  G (see frec2uz0d 10393). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 zex 9257 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
32mptex 5740 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
4 vex 2740 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
53, 4fvex 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
65ax-gen 1449 . . . . . . . 8  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
7 frecfnom 6398 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
86, 7mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
109fneq1i 5308 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  om  <-> frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
118, 10sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  G  Fn  om )
12 fvelrnb 5561 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  om  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
14 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  C  e.  ZZ )
15 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
1614, 9, 15frec2uzuzd 10396 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
17 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1816, 17syl5ibcom 155 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
1918rexlimdva 2594 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
2013, 19sylbid 150 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
21 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w  e.  ran  G  <->  C  e.  ran  G ) )
22 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ran  G  <->  y  e.  ran  G ) )
23 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
w  e.  ran  G  <->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
24 id 19 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ZZ )
2524, 9frec2uz0d 10393 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  =  C )
26 peano1 4592 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
27 fnfvelrn 5646 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2811, 26, 27sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2925, 28eqeltrrd 2255 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ran  G )
30 eluzel2 9528 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  C  e.  ZZ )
3114, 9, 15frec2uzsucd 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z
)  +  1 ) )
32 oveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
3331, 32sylan9eq 2230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( y  +  1 ) )
34 peano2 4593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
35 fnfvelrn 5646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  om  /\  suc  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3611, 34, 35syl2an 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3736adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3833, 37eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G )
3938ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4039rexlimdva 2594 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4113, 40sylbid 150 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G
) )
4230, 41syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( y  e.  ran  G  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 9583 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  y  e.  ran  G )
4420, 43impbid1 142 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
4544eqrdv 2175 . 2  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
) )
461, 45syl 14 1  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422    |-> cmpt 4063   suc csuc 4364   omcom 4588   ran crn 4626    Fn wfn 5209   ` cfv 5214  (class class class)co 5871  freccfrec 6387   1c1 7808    + caddc 7810   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10400
  Copyright terms: Public domain W3C validator