Theorem frec2uzrand 10476

Description: Range of G (see frec2uz0d 10470). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	|- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		zex 9326	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
3	2	mptex 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
4		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5	3, 4	fvex 5574	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6	5	ax-gen 1460	. . . . . . . 8 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
7		frecfnom 6454	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5348	. . . . . . 7 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> G Fn om )
12		fvelrnb 5604	. . . . . 6 |- ( G Fn om -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
14		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> z e. om )
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 10473	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
18	16, 17	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
19	18	rexlimdva 2611	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
20	13, 19	sylbid 150	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
21		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( w = C -> ( w e. ran G <-> C e. ran G ) )
22		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w e. ran G <-> y e. ran G ) )
23		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( w e. ran G <-> ( y + 1 ) e. ran G ) )
24		id 19	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ZZ )
25	24, 9	frec2uz0d 10470	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) = C )
26		peano1 4626	. . . . . . 7 |- (/) e. om
27		fnfvelrn 5690	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn om /\ (/) e. om ) -> ( G ` (/) ) e. ran G )
28	11, 26, 27	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( G ` (/) ) e. ran G )
29	25, 28	eqeltrrd 2271	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> C e. ran G )
30		eluzel2 9597	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> C e. ZZ )
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 10472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
32		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) + 1 ) = ( y + 1 ) )
33	31, 32	sylan9eq 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) = ( y + 1 ) )
34		peano2 4627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> suc z e. om )
35		fnfvelrn 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn om /\ suc z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
36	11, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
38	33, 37	eqeltrrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) /\ ( G ` z ) = y ) -> ( y + 1 ) e. ran G )
39	38	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ z e. om ) -> ( ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
40	39	rexlimdva 2611	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
41	13, 40	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 9653	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> y e. ran G )
44	20, 43	impbid1 142	. . 3 |- ( C e. ZZ -> ( y e. ran G <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
45	44	eqrdv 2191	. 2 |- ( C e. ZZ -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
46	1, 45	syl 14	1 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   ran crn 4660   Fn wfn 5249   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1c1 7873   + caddc 7875   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10477