Theorem frec2uzuzd 10764

Description: The value G (see frec2uz0d 10761) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
3	2	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( y e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( G ` y ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
7		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( G ` y ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
9		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
10	9	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( G ` y ) = ( G ` suc z ) )
12	11	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 10761	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16		uzid 9868	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
18	15, 17	eqeltrd 2309	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
19		peano2uz 9915	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
20	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
21		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> z e. om )
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10763	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
23	22	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
24	19, 23	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
25	24	ex 115	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ph -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4723	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
28	1, 6, 27	vtocld 2867	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
29	1, 28	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   |-> cmpt 4171   suc csuc 4486   omcom 4712   ` cfv 5352  (class class class)co 6050  freccfrec 6621   1c1 8128   + caddc 8130   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10765  frec2uzrand  10767  frec2uzrdg  10771  frecuzrdgsuc  10776  hashcl  11144  nninfctlemfo  12736  ennnfonelemrn  13170