ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd Unicode version

Theorem frec2uzuzd 9809
Description: The value  G (see frec2uz0d 9806) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
2 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
32eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
y  e.  om  <->  A  e.  om ) )
42fveq2d 5309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
54eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
63, 5imbi12d 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
7 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
87eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
9 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
109eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
11 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
1211eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
13 frec2uz.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
14 frec2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1513, 14frec2uz0d 9806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
16 uzid 9033 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
1713, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C ) )
1815, 17eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 peano2uz 9071 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
2013adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
21 simpl 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  z  e.  om )
2220, 14, 21frec2uzsucd 9808 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z )  +  1 ) )
2322eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( ( G `
 z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2419, 23syl5ibr 154 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2524ex 113 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
268, 10, 12, 18, 25finds2 4416 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2726com12 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
281, 6, 27vtocld 2671 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
291, 28mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   (/)c0 3286    |-> cmpt 3899   suc csuc 4192   omcom 4405   ` cfv 5015  (class class class)co 5652  freccfrec 6155   1c1 7351    + caddc 7353   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  9810  frec2uzrand  9812  frec2uzrdg  9816  frecuzrdgsuc  9821  hashcl  10189
  Copyright terms: Public domain W3C validator