Theorem frec2uzuzd 10351

Description: The value G (see frec2uz0d 10348) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
3	2	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( y e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( G ` y ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
7		fveq2 5494	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( G ` y ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
9		fveq2 5494	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
10	9	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11		fveq2 5494	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( G ` y ) = ( G ` suc z ) )
12	11	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 10348	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16		uzid 9494	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
18	15, 17	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
19		peano2uz 9535	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
20	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
21		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> z e. om )
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10350	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
23	22	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
24	19, 23	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
25	24	ex 114	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ph -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4583	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
28	1, 6, 27	vtocld 2782	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
29	1, 28	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   |-> cmpt 4048   suc csuc 4348   omcom 4572   ` cfv 5196  (class class class)co 5851  freccfrec 6367   1c1 7768   + caddc 7770   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10352  frec2uzrand  10354  frec2uzrdg  10358  frecuzrdgsuc  10363  hashcl  10708  ennnfonelemrn  12367