Theorem frec2uzuzd 10206

Description: The value G (see frec2uz0d 10203) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
3	2	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( y e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( G ` y ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
7		fveq2 5429	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( G ` y ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
9		fveq2 5429	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
10	9	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11		fveq2 5429	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( G ` y ) = ( G ` suc z ) )
12	11	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 10203	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16		uzid 9364	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
18	15, 17	eqeltrd 2217	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
19		peano2uz 9405	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
20	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
21		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> z e. om )
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10205	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
23	22	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
24	19, 23	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
25	24	ex 114	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ph -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4523	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
28	1, 6, 27	vtocld 2741	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
29	1, 28	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10207  frec2uzrand  10209  frec2uzrdg  10213  frecuzrdgsuc  10218  hashcl  10559  ennnfonelemrn  11968