Theorem frec2uzuzd 10663

Description: The value G (see frec2uz0d 10660) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
3	2	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( y e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( G ` y ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
7		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( G ` y ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
9		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
10	9	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( G ` y ) = ( G ` suc z ) )
12	11	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 10660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16		uzid 9769	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
18	15, 17	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
19		peano2uz 9816	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
20	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
21		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> z e. om )
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10662	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
23	22	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
24	19, 23	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
25	24	ex 115	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ph -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4699	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
28	1, 6, 27	vtocld 2856	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
29	1, 28	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   ` cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   1c1 8032   + caddc 8034   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10664  frec2uzrand  10666  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgsuc  10675  hashcl  11042  nninfctlemfo  12610  ennnfonelemrn  13039