ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd Unicode version

Theorem frec2uzuzd 10182
Description: The value  G (see frec2uz0d 10179) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
2 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
32eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
y  e.  om  <->  A  e.  om ) )
42fveq2d 5425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
54eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
63, 5imbi12d 233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
7 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
87eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
9 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
109eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
11 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
1211eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
13 frec2uz.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
14 frec2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1513, 14frec2uz0d 10179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
16 uzid 9347 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
1713, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C ) )
1815, 17eqeltrd 2216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 peano2uz 9385 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
2013adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
21 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  z  e.  om )
2220, 14, 21frec2uzsucd 10181 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z )  +  1 ) )
2322eleq1d 2208 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( ( G `
 z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2419, 23syl5ibr 155 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2524ex 114 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
268, 10, 12, 18, 25finds2 4515 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2726com12 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
281, 6, 27vtocld 2738 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
291, 28mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363    |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1c1 7628    + caddc 7630   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10183  frec2uzrand  10185  frec2uzrdg  10189  frecuzrdgsuc  10194  hashcl  10534  ennnfonelemrn  11939
  Copyright terms: Public domain W3C validator