ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd Unicode version

Theorem frec2uzuzd 10421
Description: The value  G (see frec2uz0d 10418) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
2 simpr 110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
32eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
y  e.  om  <->  A  e.  om ) )
42fveq2d 5534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
54eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
63, 5imbi12d 234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
7 fveq2 5530 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
87eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
9 fveq2 5530 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
109eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
11 fveq2 5530 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
1211eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
13 frec2uz.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
14 frec2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1513, 14frec2uz0d 10418 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
16 uzid 9561 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
1713, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C ) )
1815, 17eqeltrd 2266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 peano2uz 9602 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
2013adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
21 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  z  e.  om )
2220, 14, 21frec2uzsucd 10420 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z )  +  1 ) )
2322eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( ( G `
 z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2419, 23imbitrrid 156 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2524ex 115 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
268, 10, 12, 18, 25finds2 4615 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2726com12 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
281, 6, 27vtocld 2804 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
291, 28mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   (/)c0 3437    |-> cmpt 4079   suc csuc 4380   omcom 4604   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   1c1 7831    + caddc 7833   ZZcz 9272   ZZ>=cuz 9547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10422  frec2uzrand  10424  frec2uzrdg  10428  frecuzrdgsuc  10433  hashcl  10780  ennnfonelemrn  12444
  Copyright terms: Public domain W3C validator