Theorem frec2uzuzd 10168

Description: The value G (see frec2uz0d 10165) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
3	2	eleq1d 2206	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( y e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( G ` y ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2206	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> ( ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
7		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( G ` y ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2206	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
9		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
10	9	eleq1d 2206	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( G ` y ) = ( G ` suc z ) )
12	11	eleq1d 2206	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 10165	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16		uzid 9333	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
18	15, 17	eqeltrd 2214	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
19		peano2uz 9371	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
20	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
21		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> z e. om )
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
23	22	eleq1d 2206	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( ( G ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
24	19, 23	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ ph ) -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
25	24	ex 114	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ph -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` suc z ) e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4510	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
28	1, 6, 27	vtocld 2733	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) )
29	1, 28	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3358   |-> cmpt 3984   suc csuc 4282   omcom 4499   ` cfv 5118  (class class class)co 5767  freccfrec 6280   1c1 7614   + caddc 7616   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10169  frec2uzrand  10171  frec2uzrdg  10175  frecuzrdgsuc  10180  hashcl  10520  ennnfonelemrn  11921