Theorem frec2uzuzd 10860

Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 10857) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
4	2	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
6	3, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
7		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
10	9	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
12	11	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 10857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16		uzid 9952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18	15, 17	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		peano2uz 9999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
20	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
24	19, 23	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4750	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
27	26	com12 30	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
28	1, 6, 27	vtocld 2875	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
29	1, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520   ↦ cmpt 4193  suc csuc 4512  ωcom 4739  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6665  1c1 8186   + caddc 8188  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  frec2uzltd  10861  frec2uzrand  10863  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgsuc  10872  hashcl  11242  nninfctlemfo  12842  ennnfonelemrn  13368