Theorem frec2uzuzd 10494

Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 10491) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
4	2	fveq2d 5562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
5	4	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
6	3, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
7		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
10	9	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
12	11	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 10491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16		uzid 9615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18	15, 17	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		peano2uz 9657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
20	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
23	22	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
24	19, 23	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4637	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
27	26	com12 30	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
28	1, 6, 27	vtocld 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
29	1, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450   ↦ cmpt 4094  suc csuc 4400  ωcom 4626  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448  1c1 7880   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10495  frec2uzrand  10497  frec2uzrdg  10501  frecuzrdgsuc  10506  hashcl  10873  nninfctlemfo  12207  ennnfonelemrn  12636