Theorem frec2uzuzd 10788

Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 10785) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzuzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzuzd

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝑦 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
4	2	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
5	4	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
6	3, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → ((𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
7		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
10	9	eleq1d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
12	11	eleq1d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 10785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16		uzid 9886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	13, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18	15, 17	eqeltrd 2311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		peano2uz 9933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
20	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ω)
22	20, 14, 21	frec2uzsucd 10787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
23	22	eleq1d 2303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
24	19, 23	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
26	8, 10, 12, 18, 25	finds2 4728	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
27	26	com12 30	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
28	1, 6, 27	vtocld 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
29	1, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  freccfrec 6634  1c1 8144   + caddc 8146  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  frec2uzltd  10789  frec2uzrand  10791  frec2uzrdg  10795  frecuzrdgsuc  10800  hashcl  11169  nninfctlemfo  12761  ennnfonelemrn  13254