ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 GIF version

Theorem fznatpl1 9553
Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 7566 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
2 elfzelz 9503 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
32zred 8931 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
43adantl 272 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5 peano2re 7681 . . . 4 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7 peano2re 7681 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → (1 + 1) ∈ ℝ)
81, 7syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ∈ ℝ)
91ltp1d 8454 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10 elfzle1 9504 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
1110adantl 272 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12 1re 7550 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
13 leadd1 7971 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1412, 12, 13mp3an13 1265 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
154, 14syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1611, 15mpbid 146 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 7964 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
181, 6, 17ltled 7665 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19 elfzle2 9505 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
2019adantl 272 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21 nnz 8832 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2221adantr 271 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322zred 8931 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 leaddsub 7979 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2512, 24mp3an2 1262 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
264, 23, 25syl2anc 404 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2720, 26mpbird 166 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
282peano2zd 8934 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
2928adantl 272 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
30 1z 8839 . . . 4 1 ∈ ℤ
31 elfz 9493 . . . 4 (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3230, 31mp3an2 1262 . . 3 (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3329, 22, 32syl2anc 404 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3418, 27, 33mpbir2and 891 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668  cr 7412  1c1 7414   + caddc 7416  cle 7586  cmin 7716  cn 8485  cz 8813  ...cfz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator