ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoss2 GIF version

Theorem fzoss2 9646
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9087 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 peano2zm 8851 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4 1zzd 8840 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5 id 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
61zcnd 8932 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 7501 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 npcan 7754 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
96, 7, 8sylancl 405 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
109fveq2d 5324 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
115, 10eleqtrrd 2168 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
12 eluzsub 9111 . . . 4 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
133, 4, 11, 12syl3anc 1175 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
14 fzss2 9541 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
1513, 14syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16 fzoval 9622 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
171, 16syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18 eluzelz 9091 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 fzoval 9622 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2115, 17, 203sstr4d 3072 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1290  wcel 1439  wss 3002  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  1c1 7414   + caddc 7416  cmin 7716  cz 8813  cuz 9082  ...cfz 9487  ..^cfzo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-fzo 9617
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  9647  fzosplit  9651  fzossfzop1  9686
  Copyright terms: Public domain W3C validator