Theorem swrdval2 11104

Description: Value of the subword extractor in its intended domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdval2	|- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. F , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, S   x, F   x, L   x, A

Proof of Theorem swrdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> S e. Word A )
2		elfzelz 10147	. . . 4 |- ( F e. ( 0 ... L ) -> F e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> F e. ZZ )
4		elfzelz 10147	. . . 4 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) -> L e. ZZ )
5	4	3ad2ant3 1023	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> L e. ZZ )
6		swrdval 11101	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
8		elfzuz 10143	. . . . . . 7 |- ( F e. ( 0 ... L ) -> F e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	8	3ad2ant2 1022	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> F e. ( ZZ>= ` 0 ) )
10		fzoss1 10295	. . . . . 6 |- ( F e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ L ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ L ) )
12		elfzuz3 10144	. . . . . . 7 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) )
13	12	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) )
14		fzoss2 10296	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) -> ( 0..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( 0..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
16	11, 15	sstrd 3203	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
17		wrddm 11002	. . . . 5 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
18	17	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19	16, 18	sseqtrrd 3232	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom S )
20	19	iftrued 3578	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) )
21	7, 20	eqtrd 2238	1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. F , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   <.cop 3636   |-> cmpt 4105   dom cdm 4675   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   + caddc 7928   - cmin 8243   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994   substr csubstr 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995  df-substr 11099

This theorem is referenced by:  swrdlen  11105  swrdfv  11106  swrdwrdsymbg  11117